Загрузка заданий...

Вариант 1503 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.

Мобильный интернет	2 ГБ	2,5 ГБ	4 ГБ	3,5 ГБ
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.

Ответ: 3142

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?

Решение

По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.

Ответ: 575

3 Задание 3 1 балл

Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?

Решение

По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.

Ответ: 2

4 Задание 4 1 балл

Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?

Решение

В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.

Стоимость перехода на тариф	0 руб.
Абонентская плата в месяц	430 руб.
Пакет исходящих вызовов	400 минут
Пакет мобильного интернета	4 ГБ
Пакет СМС	120 СМС
Входящие вызовы	0 руб./мин.
Исходящие вызовы*	4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	180 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ

Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.

Решение

По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.

Ответ: 430

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 \cdot 17,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 \cdot 17,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) \cdot 17,5 = 3,5$.

Ответ: $3,5$.

Ответ: 3,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -3,2 до 0,16?
В ответе укажите номер правильного варианта.

1,94

-0,375

-3,28

$\frac{24}{5}$

Решение

Сравним числа -3,2 и 0,16. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (-0,375) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√6)².

Используем свойство степени произведения: (5√6)² = 5² · (√6)².

Получаем 25 · 6 = 150.

Ответ: 150.

Ответ: 150

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 6} = -1$$

Решение

Решим уравнение: -5/(x + 6) = -1

Область допустимых значений: x != -6.

Умножим обе части уравнения на x + 6:

-5 = -1(x + 6)

Раскроем скобки:

-5 = -1x - 6

Перенесём число в левую часть:

1 = -1x

x = 1 / -1

x = -1

Проверка ОДЗ: x = -1, x != -6, условие выполняется.

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 36 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 4 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{40}$ = 0,1.

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = \dfrac{1}{2}x - 2$

Б) $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$

В) $y = -2x + 3$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 15, sinα = 0,4, а S = 12.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·12/(15·0,4) = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

8x - 9 < -2x + 12

(0;+∞)

(-3,5;+∞)

(-∞;2,1)

(-∞;0,3)

Решение

Решим неравенство: 8x - 9 < -2x + 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x < 21.

Делим обе части на 10: x < 2,1.

Значит, x меньше 2,1.

Этому соответствует промежуток (-∞;2,1).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 9 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -9° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.

Через 9 минут изменение составит 9·9 = 81° C.

Итоговая температура: -9 - 81 = -90.

Ответ: -90.

Ответ: -90

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 16° и AK = CK.

Решение

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 16°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·16° = 32°.

Тогда ∠B = 180° - 32° - 16° = 132°.

Ответ: 132.

Ответ: 132

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 82°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 82° + 54° = 136°.

Ответ: 136.

Ответ: 136

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 7, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.

Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 7 + 2·5 = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 8.

m = (4 + 8) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+40$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{6-x}$.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=40$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-40=0\Rightarrow(x-8)(x+5)=0$.

Корни: $x=8$ и $x=-5$.

Шаг 3. ОДЗ: $6-x\ge0\Rightarrow x\le6$. Значит $x=8$ не подходит.

Ответ: $-5$.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):

192/(x − 4) − 192/(x + 4) = 4.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

192(x+4) − 192(x−4) = 4(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 192·2·4 = 1536. Получаем квадратное уравнение:

4x² − 1536 − 64 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 20.

Шаг 6. Проверка: 192/16 = 12 ч, 192/24 = 8 ч, разность 4 ч. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-10x+27,& x\ge 4,\\x,& x<4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {2}∪(3;4).

Ответ: {2}∪(3;4).

Правильный ответ: {2}∪(3;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 29.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 29 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 29 · sin120°.

AB = 29 · sin120°/sin30° (здесь sin120°/sin30° = √3).

AB = 29√3.

Ответ: 29√3.

Правильный ответ: 29√3

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APB и CPD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△APD) (общую часть):

S(△APB) = S(△CPD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−6, 0), D = (6, 0) (|AD| = 12).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (12, h). На прямой BE точка E = (0, 12 − h), так как BE = 12.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{12}{4}$ = 9.

Шаг 5. AB = √(h² + (6)²) = √(81 + 36) = 3√13;

BC = 2·AB = 6√13; CA = 9√5.

Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.

Правильный ответ: 3√13; 6√13; 9√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.