Загрузка заданий...

Вариант 1512 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,3 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	санузел	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 6, кладовая — 3, санузел — 4, гостиная — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, санузел, гостиная.

Следовательно, ответ: 6347.

Ответ: 6347

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 60 см продаётся в упаковках по 14 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол на кухне?

Решение

По плану площадь покрытия кухни составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м, поэтому площадь равна 72 · 0,09 = 6,48 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,6 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 6,48 / 0,12 = 54.

В одной упаковке 14 штук, значит понадобится 4 упаковки.

Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь спальни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,3 · 0,3 = 0,09 кв. м.

Значит, площадь равна 88 · 0,09 = 7,92 кв. м.

Ответ: 7,92.

Ответ: 7,92

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 36) / 36) · 100% = 300%.

Ответ: 300.

Ответ: 300

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой, по глубине не превосходящую 42 см.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель Б: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.

Модель В: 25 000 + 5 000 + доставка: 10% от 25 000 = 2 500 руб. = 32 500 руб.

Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.

Модель И: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели И: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,8 + 3,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,8 + 3,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,8) + 3,5 = 4,3$.

Ответ: $4,3$.

Ответ: 4,3

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -0,5 и 2?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\sqrt{6}$

$\frac{13}{20}$

-4,375

$-\frac{39}{10}$

Решение

Сравним числа -0,5 и 2. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{13}{20}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{11} - 5)(\sqrt{11} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√11 - 5)(√11 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√11)² - 5² = 11 - 25 = -14.

Ответ: -14.

Ответ: -14

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x - 7y = -35 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-2x - 7y = -35

4x + 2y = 10

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на -2.

Получим:

$(-2x - 7y = -35) \cdot 4$: -8x - 28y = -140

$(4x + 2y = 10) \cdot -2$: -8x - 4y = -20

Вычтем второе уравнение из первого:

-24y = -120

y = -120 / -24 = 5

Подставим y = 5 в первое уравнение:

-2x - 7y = -35

Получаем x = 0.

Ответ: (0;5)

Ответ: 0;5

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 40 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{40}{50}$ = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b > 0

2) k < 0, b < 0

3) k > 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 6 колец.

Решение

Подставим n = 6 в формулу C = 6000 + 4100n.

C = 6000 + 4100·6 = 30600.

Ответ: 30 600.

Ответ: 30 600

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

x + 2 < -3x + 6

(-∞;0)

(-∞;-1)

(0;+∞)

(-∞;1)

Решение

Решим неравенство: x + 2 < -3x + 6.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x < 4.

Делим обе части на 4: x < 1.

Значит, x меньше 1.

Этому соответствует промежуток (-∞;1).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 17, d = 3, n = 13.

Сначала найдём последний ряд: a13 = 17 + (13 - 1)·3 = 53.

Сумма первых 13 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(17 + 53)/2 = 455.

Ответ: 455.

Ответ: 455

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 12 = 144/2 = 72.

Ответ: 72.

Ответ: 72

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 16°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 16° + 55° = 71°.

Ответ: 71.

Ответ: 71

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 3, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.

Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 3 + 2·5 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 4.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биквадратное по $(x+3)$. Замена $t=(x+3)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-8=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=2$.

Шаг 3. Берём только $t=2$ (так как $t\ge0$, значение $t=-4$ не подходит).

Шаг 4. Решаем $(x+3)^2=2$:

$x+3=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-3\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-3-\sqrt{2};\quad -3+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: -3-√2;-3+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше, значит его время меньше:

880/x − 880/(x+30) = 3.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):

880·(x+30) − 880·x = 3·x·(x+30).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 880·30 = 26400. Получаем:

3x² + 90x − 26400 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·3·26400 = 324900, √D = 570.

x = (−90 + 570) / (2·3) = 80 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 80 + 30 = 110 км/ч.

Ответ: 110.

Правильный ответ: 110

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-7,25; -5; 5 $.

Ответ: $ -7,25; -5; 5 $.

Правильный ответ: -7,25; -5; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 16 = 64.

Шаг 3. AB = √64 = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на средней линии равноудалена от обоих оснований.

Шаг 1. Средняя линия параллельна основаниям и находится на расстоянии h/2 от каждого, где h — высота трапеции.

Шаг 2. S(BFC) = BC·(h/2)/2 = BC·h/4.

S(AFD) = AD·(h/2)/2 = AD·h/4.

Шаг 3. S(BFC) + S(AFD) = (AD+BC)·h/4 = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 36 · 44 = 1584.

AT = √1584.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 8 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{11}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 21,6.

Ответ: 21,6.

Правильный ответ: 21,6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.