Загрузка заданий...

Вариант 1551 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{8} - 0,02 + \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{8} - 0,02 + \frac{3}{2}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{8}) - 0,02 = 1,105$.

Шаг 2: $(1,105) + \frac{3}{2} = 2,605$.

Получили результат $2,605$.

Ответ: $2,605$.

Ответ: 2,605

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\frac{\sqrt{7}}{2}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{\sqrt{7}}{2}$ по своему значению совпадает с точкой C.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2^{-2} \cdot (2^4)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 2^(-2) · (2^4)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^4)^2 = 2^8.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^-2 · 2^8 = 2^6.

Получаем 2^6 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 5x - 6 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 5x - 6 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 5, c = -6.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4·1·-6 = 49.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-5 - √49) / 2 = -6

x₂ = (-5 + √49) / 2 = 1

Ответ: -6;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 36 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 4 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{40}$ = 0,1.

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k > 0, b > 0

Б) k > 0, b < 0

В) k < 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 13-минутной поездки.

Решение

Подставим t = 13 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(13 − 5) = 238.

Ответ: 238.

Ответ: 238

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

2x + 6 ≥ -x - 9

(-∞;0]

[0;+∞)

[-5;+∞)

(-∞;5]

Решение

Решим неравенство: 2x + 6 >= -x - 9.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x >= -15.

Делим обе части на 3: x >= -5.

Значит, x больше или равно -5.

Этому соответствует промежуток [-5;+∞).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 320 мг. Найдите массу изотопа через 54 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 320 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 54 минут пройдёт 6 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 320·($\frac{1}{2}$)^6 = 5 мг.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 7 · 12 = $\frac{84}{2}$ = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 74°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 74° = 106°.

Ответ: 106.

Ответ: 106

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=4: t=(7−4)/(7−1)=$\frac{1}{2}$. x_A=2,5, x_B=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2-9x=y,\\5x-9=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части системы.

Шаг 1. $5x^2-9x=5x-9$.

Шаг 2. Переносим влево: $5x^2-14x+9=0$.

Шаг 3. Разложим: $(5x-9)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{9}{5}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{9}{5}$: $y=5\cdot\dfrac{9}{5}-9=0$.

При $x=1$: $y=5-9=-4$.

Ответ: $\left(\dfrac{9}{5};\,0\right);\ (1;\,-4)$.

Правильный ответ: (9/5;0);(1;-4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.

Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:

180/x = 180/(x+5) + 3.

Шаг 3. Переносим 180/(x+5) влево:

180/x − 180/(x+5) = 3.

Шаг 4. Умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.

Шаг 5. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.

Шаг 6. Скорость на обратном пути: 15 + 5 = 20 км/ч.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=2-\dfrac{x-5}{x^2-5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=2-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5 $.

У функции $ y=2-\frac1x $ нет значений $ y=2 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=1,8 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=1,8; 2 $.

Ответ: 1,8; 2.

Правильный ответ: 1,8; 2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 10, AC = 40.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 10 · 40 = 400.

Шаг 3. AB = √400 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.

Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.

BE — касательная: BE² = степень точки B.

Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).

Степень точки B: BE² = BC · BD.

Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 20 (вертикальная хорда).

BE² = BC · BD = 10 · 20 = 200.

BE = √200 = 10√2.

Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.