Загрузка заданий...

Вариант 1581 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

Ответ: 9

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

Ответ: 6

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

Ответ: 10

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

Ответ: 600

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 \cdot 0,02$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,3 \cdot 0,02$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) \cdot 0,02 = 0,006$.

Ответ: $0,006$.

Ответ: 0,006

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -4,33 до 4,75?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4,75

-4,52

4,89

Решение

Сравним числа -4,33 и 4,75. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (0) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (2√6)².

Используем свойство степени произведения: (2√6)² = 2² · (√6)².

Получаем 4 · 6 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 3(-9x - 5) = 3x - 252

Решение

Решим уравнение: 3 + 3(-9x - 5) = 3x - 252

Раскроем скобки:

3 + 3(-9x - 5) = 3x - 252

3 - 27x - 15 = 3x - 252

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-27x - 12 = 3x - 252

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-30x = -240

Разделим обе части на -30:

x = -240 / -30

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 25 чашек: 20 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 5 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{5}{25}$ = 0,2.

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -\dfrac{6}{x}$

Б) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

В) $y = -3x^2 + 9x - 4$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 15,125 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 15,125/(5,5²) = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

x + 3 > -2x - 12

(-∞;5)

(-5;+∞)

(-∞;-5)

(5;+∞)

Решение

Решим неравенство: x + 3 > -2x - 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x > -15.

Делим обе части на 3: x > -5.

Значит, x больше -5.

Этому соответствует промежуток (-5;+∞).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 25 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 2 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 25, d = -2.

Последний положительный член прогрессии равен 1, значит секунд движения до полной остановки было 13.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 13·(25 + 1)/2 = 169.

Ответ: 169.

Ответ: 169

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 16√3 · √3 / 2 = 16·3 / 2 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 40, BC = 30, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 50.

Следовательно, R = AB / 2 = 50 / 2 = 25.

Ответ: 25.

Ответ: 25

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 83°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 26°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Угол A трапеции равен 180° - 83° = 97°.

Диагональ делит угол A на два: 26° и искомый.

Искомый угол равен 97° - 26° = 71°.

Ответ: 71.

Ответ: 71

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.

Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все квадраты имеют равные площади.

Основания равнобедренной трапеции равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-5)^2<\sqrt{7}(x-5)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-5)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-5)^2-\sqrt{7}(x-5)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-5)\bigl[(x-5)-\sqrt{7}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=5$ и $x=5+\sqrt{7}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(5;\; 5+\sqrt{7})$.

Правильный ответ: (5;5+√7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.

Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.

По течению: x + 5. Против течения: x − 5.

Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:

56/(x + 5) + 54/(x − 5) = 5.

Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:

56(x−5) + 54(x+5) = 5(x²−25).

Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.

Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 23.

Шаг 6. Проверка: $\frac{56}{28}$ = 2 ч, $\frac{54}{18}$ = 3 ч, сумма 5 ч. ✓

Ответ: 23.

Правильный ответ: 23

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-1-\dfrac{x-4}{x^2-4x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-1-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=4 $.

У функции $ y=-1-\frac1x $ нет значений $ y=-1 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-1,25 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-1,25; -1 $.

Ответ: -1,25; -1.

Правильный ответ: -1,25; -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 45.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 45 · sin150°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 45 · sin150°.

AB = 45 · sin150°/sin60° (здесь sin150°/sin60° = √$\frac{3}{3}$).

AB = 15√3.

Ответ: 15√3.

Правильный ответ: 15√3

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.

Ответ: 8√3.

Правильный ответ: 8√3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.