Загрузка заданий...

Вариант 1665 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.

Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.

Ответ: 5.

Ответ: 5

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.

Ответ: 75.

Ответ: 75

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.

Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.

Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.

Ответ: 450.

Ответ: 450

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} - 0,035 + \frac{7}{25}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{2} - 0,035 + \frac{7}{25}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{2}) - 0,035 = 0,465$.

Шаг 2: $(0,465) + \frac{7}{25} = 0,745$.

Получили результат $0,745$.

Ответ: $0,745$.

Ответ: 0,745

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -1 и $\sqrt{3}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{33}{20}$

3,625

1,25

2,45

Решение

Сравним числа -1 и $\sqrt{3}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (1,25) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√7 · 5√5 · √35.

Перемножим коэффициенты: 2 · 5 = 10.

Подкоренные выражения дают: √7 · √5 · √35 = √(7·5·35) = √(1225) = 35.

Тогда всё выражение равно 10 · 35 = 350.

Ответ: 350.

Ответ: 350

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 2x - 7y = -33 \\ 8x - 2y = -54 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

2x - 7y = -33

8x - 2y = -54

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 2.

Получим:

$(2x - 7y = -33) \cdot 8$: 16x - 56y = -264

$(8x - 2y = -54) \cdot 2$: 16x - 4y = -108

Вычтем второе уравнение из первого:

-52y = -156

y = -156 / -52 = 3

Подставим y = 3 в первое уравнение:

2x - 7y = -33

Получаем x = -6.

Ответ: (-6;3)

Ответ: -6;3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 40 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 60 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 60/100 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = -x^2 + 4x - 3$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 60,75 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 60,75/(4,5²) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

1x - x² ≥ 0

Решение

Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: [0;1]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 18 мест, а в десятом ряду 22 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (22 - 18) / (10 - 6) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 18 - 5·1 = 13.

Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 13 + 15·1 = 28.

Ответ: 28.

Ответ: 28

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 64°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 64°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 64° = 26°.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 14, BC = 5, CD = 7. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.

AD = AB + CD - BC = 14 + 7 - 5 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 6, BD = 12, AB = 4. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 12 / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.

Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+y=4,\\2x^2-y=1.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения, чтобы сократить $y$.

Шаг 1. Складываем:

$(3x^2+y)+(2x^2-y)=4+1\Rightarrow 5x^2=5$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=4-3x^2=4-3=1$.

Ответ: $(-1;\,1);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (-1;1);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 192 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 4 ч больше):

192/(x − 4) − 192/(x + 4) = 4.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

192(x+4) − 192(x−4) = 4(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 192·2·4 = 1536. Получаем квадратное уравнение:

4x² − 1536 − 64 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 20.

Шаг 6. Проверка: 192/16 = 12 ч, 192/24 = 8 ч, разность 4 ч. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 4.

Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 35, BC = 21, CF : DF = 5 : 2.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:2 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:2 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (2·21 + 5·35) / (5+2).

Шаг 3. EF = (42 + 175) / 7 = 217 / 7 = 31.

Ответ: 31.

Правильный ответ: 31

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 5 : 4 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{5}{4}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{5}{4}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 12/(2·sin A) = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.