Загрузка заданий...

Вариант 1668 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R18.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

Ответ: 225

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/55 R18?

Решение

В маркировке 235/55 R18 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 235 · 55 / 100 = 129.25 мм. Ответ: 129.25.

Ответ: 129.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R20?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R18 и нового колеса 235/45 R20. Ответ: 7.7.

Ответ: 7.7

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R18 получаем диаметр 727.2 мм. Ответ: 727.2.

Ответ: 727.2

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R20? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R18 и колеса 235/45 R20, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.

Ответ: 1.1

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - 0,06 \cdot 2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 - 0,06 \cdot 2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,06) \cdot 2 = 0,12$.

Шаг 2: $(0,2) - 0,12 = 0,08$.

Ответ: $0,08$.

Ответ: 0,08

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

6 - a < 0

6 - a > 0

a - 5 < 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 5 < a < 6.

Проверим варианты ответа:

1) 6 - a < 0 ⇔ a > 6 — неверно.

2) 6 - a > 0 ⇔ a < 6 — верно.

3) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{96} + \sqrt{96})\sqrt{6}$$

Решение

Вычислим выражение: (√96 + √96)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √96 = 4√6, √96 = 4√6.

Тогда получаем (4√6 + 4√6)·√6 = 8√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 8·6 = 48.

Ответ: 48.

Ответ: 48

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 2y = 12 \\ -6x + 5y = -33 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

6x + 2y = 12

-6x + 5y = -33

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -6, а второе — на 6.

Получим:

$(6x + 2y = 12) \cdot -6$: -36x - 12y = -72

$(-6x + 5y = -33) \cdot 6$: -36x + 30y = -198

Вычтем второе уравнение из первого:

-42y = 126

y = 126 / -42 = -3

Подставим y = -3 в первое уравнение:

6x + 2y = 12

Получаем x = 3.

Ответ: (3;-3)

Ответ: 3;-3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.375 и 0.625: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.6, по нижнему 0.35.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.375 · 0.6 = 0.225.

Нижний путь: 0.625 · 0.35 = 0.21875.

Складываем: 0.225 + 0.21875 = 0.44375.

Ответ: 0,44375

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,3 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,3 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,3 = 2 940.

Ответ: 2 940.

Ответ: 2 940

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 5)(x - 3) ≥ 0

[-5;+∞)

(3;+∞)

(-∞;3]

(-∞;-5] ∪ [3;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -5 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 3) >= 0 получаем решение (-∞;-5] ∪ [3;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 6 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 100 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 6, q = 3.

За 100 минут пройдёт 5 промежутков по 20 минут.

Получаем массу 6·3^5 = 1458 мг.

Ответ: 1458.

Ответ: 1458

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/15, AB = 45. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 45 · $\frac{4}{15}$ = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.

Следовательно, ∠ACD = 16°.

Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:

угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.

Получаем ∠ABC = 16° + 43° = 59°.

Ответ: 59.

Ответ: 59

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.

Биссектриса делит угол A пополам.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 44° = 88°.

Ответ: 88.

Ответ: 88

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=3: t=(3−1)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2... нет: x_A=3, x_B=5. AB=2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-9)^2<\sqrt{2}(x-9)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-9)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-9)^2-\sqrt{2}(x-9)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-9)\bigl[(x-9)-\sqrt{2}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=9$ и $x=9+\sqrt{2}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(9;\; 9+\sqrt{2})$.

Правильный ответ: (9;9+√2)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 7) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.

Длина круга = x + 1 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − $\frac{20}{60}$) = 0,6666666667 ч.

Длина круга = (x + 7) · 0,6666666667 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 7) · 0,6666666667.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 11 км/ч.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 26, AC = 65, NC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{26}{65}$ = $\frac{2}{5}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{2}{5}$, то есть BN = 2·BC/5.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 18.

Подставляем: BN = 2·(BN + 18)/5.

5·BN = 2·BN + 2·18.

(5−2)·BN = 36 ⟹ BN = 36/(5−2) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.

Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 8 = 10.

S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 10)/2 · 6 = 40.

Ответ: 40.

Правильный ответ: 40

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.