Загрузка заданий...

Вариант 1672 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 20.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 15 см на 60 см продаётся в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,15 · 0,6 = 0,09 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,09 = 400.

В одной упаковке 8 штук, значит понадобится 50 упаковок.

Ответ: 50.

Ответ: 50

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$15 + 0,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $15 + 0,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(15) + 0,5 = 15,5$.

Ответ: $15,5$.

Ответ: 15,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -5

-a < -5

-a > -4

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) -a > -5 ⇔ a < 5 — верно.

3) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

4) -a > -4 ⇔ a < 4 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{11})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (3√11)².

Используем свойство степени произведения: (3√11)² = 3² · (√11)².

Получаем 9 · 11 = 99.

Ответ: 99.

Ответ: 99

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 6x + 2 = 26

Решение

Решим уравнение: 6x + 2 = 26

Перенесём 2 в правую часть:

6x = 26 - 2

6x = 24

Разделим обе части на 6:

x = 24 / 6

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Всего исходов: 32. Вероятность события $A \cap B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=8/32=0,25$.

Ответ: 0,25

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 18 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 18 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·18² / 2 = 0,0162.

Ответ: 0,0162.

Ответ: 0,0162

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x − 1,2 \leqslant -3 \\ x + 0,5 \geqslant 5,5 \end{cases}$$

(-∞;-1,8] ∪ [5;+∞)

(-1,8;5)

нет решений

(5;+∞)

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 5° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 7 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 5° C в минуту.

Через 7 минут изменение составит 5·7 = 35° C.

Итоговая температура: -6 - 35 = -41.

Ответ: -41.

Ответ: -41

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 15, AC = 3. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{3}{15}$ = 0,2.

Ответ: 0,2.

Ответ: 0,2

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 53° = 106°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 106° = 74°.

Ответ: 74.

Ответ: 74

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.

Ответ: 58.

Ответ: 58

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 8.

m = (4 + 8) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: не каждая биссектриса.

2) Верно.

3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $41a-50b+63$, если $\dfrac{7a-6b+8}{6a-7b+8}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $41a-50b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $7a-6b+8 = 8(6a-7b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $7a-6b+8 = 48a-56b+64$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 41a-50b+56$, откуда $41a-50b = -56$.

Шаг 4. Вычисляем: $41a-50b+63 = -56+63 = 7$.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/(x−16) − 105/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−16):

105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).

1680 = 4·x² − 64·x.

4x² − 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=1-\dfrac{x+5}{x^2+5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=1-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5 $.

У функции $ y=1-\frac1x $ нет значений $ y=1 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=1,2 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=1; 1,2 $.

Ответ: 1; 1,2.

Правильный ответ: 1; 1,2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 20, полухорда = AB/2 = 15.

R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 20.

d² = R² − 20² = 625 − 400 = 225. d = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. CD = 2·BC (по условию), N — середина CD.

Значит CD/2 = BC/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = BC.

Шаг 2. В параллелограмме BC ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном BN и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ BN — биссектриса угла ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41 : 40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 41 : 40 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 41:40:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{41}{40}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{41}{40}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·40/(41+40) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 18/(2·sin A) = 41.

Ответ: 41.

Правильный ответ: 41

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.