Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
Исходящие вызовы
3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
90 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1Задание 11 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев без пробелов и запятых.
Мобильный интернет
2 ГБ
2,5 ГБ
4 ГБ
3,5 ГБ
Номер месяца
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3142.
Ответ: 3142
2Задание 21 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июле?
Решение
По условию и ключу источника расходы в июле составляют 575 руб. Ответ: 575.
Ответ: 575
3Задание 31 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит и по пакету минут, и по пакету мобильного интернета?
Решение
По графику одновременно превышены 300 минут и 3 ГБ в двух месяцах. Ответ: 2.
Ответ: 2
4Задание 41 балл
Известно, что в 2018 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» составляла 200 рублей. На сколько процентов выросла абонентская плата в 2019 году по сравнению с 2018 годом?
Решение
В 2019 году абонентская плата стала 350 руб. Рост: 350 − 200 = 150 руб. Процент роста: 150 : 200 · 100% = 75%. Ответ: 75.
Ответ: 75
5Задание 51 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
Стоимость перехода на тариф
0 руб.
Абонентская плата в месяц
430 руб.
Пакет исходящих вызовов
400 минут
Пакет мобильного интернета
4 ГБ
Пакет СМС
120 СМС
Входящие вызовы
0 руб./мин.
Исходящие вызовы*
4 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)
180 руб. за 0,5 ГБ
СМС
2 руб./шт.
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 430 руб. Ответ: 430.
Ответ: 430
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$2 - \frac{3}{8} + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(2 - \frac{3}{8} + \frac{1}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((2) - \frac{3}{8} = 1,625\).
Шаг 2: \((1,625) + \frac{1}{1} = 2,625\).
Получили результат \(2,625\).
Ответ: \(2,625\).
Ответ: 2,625
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
-a > 8
3
a > -7
4
a < -7
Решение
По чертежу видно, что -8 < a < -7.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) -a > 8 ⇔ a < -8 — неверно.
3) a > -7 ⇔ a > -7 — неверно.
4) a < -7 ⇔ a < -7 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{11} \cdot 5\sqrt{5} \cdot \sqrt{55}$$
Найдите корни уравнения:
x2 - 4x + 4 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 4x + 4 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 4.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -4² - 4·1·4 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 4 / 2 = 2
Ответ: 2
Ответ: 2
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 60 билетов, Егор не выучил 36 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 60.
Благоприятных исходов: 24 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{24}{60}\) = 0,4.
Ответ: 0,4.
Ответ: 0,4
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c < 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -30 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = -30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(-30) + 32 = -22.
Ответ: -22.
Ответ: -22
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 49 ≤ 0
1
(-∞;-7] ∪ [7;+∞)
2
(-∞;-7) ∪ (7;+∞)
3
(-7;7)
4
[-7;7]
Решение
Решаем x² - 49 <= 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: [-7;7]. Это вариант 4.
Ответ: 4
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 54 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 54 минут пройдёт 6 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 400·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 6,25 мг.
Ответ: 6,25.
Ответ: 6,25
15Треугольники и их элементы1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 44. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 44 = 88.
Ответ: 88.
Ответ: 88
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 48 / 8 = 6, h₂ = 48 / 16 = 3.
Требуемая высота равна 3.
Ответ: 3.
Ответ: 3
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 2.
Искомое отношение площадей равно (10 / 2)² = 25.
Ответ: 25.
Ответ: 25
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Вертикальные углы равны.
2
Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.
3
Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Верно.
2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.
3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.
Ответ: 1.
Ответ: 1
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}2x^2+y=9,\\3x^2-y=11.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((2x^2+y)+(3x^2-y)=9+11\Rightarrow 5x^2=20\).
Шаг 2. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=9-2x^2=9-8=1\).
Ответ: \((-2;\,1);\ (2;\,1)\).
Правильный ответ: (-2;1);(2;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 40 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.
Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.
Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−11)) + 1/(2·66).
Шаг 3. Умножаем на 2·(x−11)·x·66 и упрощаем.
С учётом условия получаем x = 44.
Ответ: 44.
Правильный ответ: 44
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 4\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 4.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 4.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 4. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 4.
Проверка: при m = 4 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр ромба — центр вписанной окружности, расстояние до стороны = радиус r.
Шаг 1. Обозначим сторону ромба a, острый угол α.
Радиус вписанной окружности r = a·sin α, а половина диагонали d₁/2 = a·cos(α/2) = a·sin(90°−α/2).
Шаг 2. По условию r = 18, диагональ = 72 = 4r.
Значит диагональ = 4·18, то есть a·2·cos(α/2) = 4·a·sin α/2.
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.
Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.
BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.
S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).
Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):
S(△AOB) = S(△COD). ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 8.
