Загрузка заданий...

Вариант 1692 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.

Ответ: 215

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?

Решение

В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.

Ответ: 118.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.

Ответ: 2.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.

Ответ: 631.9

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.

Ответ: 1.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} - 0,008$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{4} - 0,008$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{4}) - 0,008 = 0,742$.

Получили результат $0,742$.

Ответ: $0,742$.

Ответ: 0,742

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел $\frac{\sqrt{11}}{2}$, $\frac{5}{2}$, $\sqrt{12}$, 4 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{\sqrt{11}}{2}$

$\frac{5}{2}$

$\sqrt{12}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{\sqrt{11}}{2}$ ≈ 1,6583

2) $\frac{5}{2}$ ≈ 2,5

3) $\sqrt{12}$ ≈ 3,4641

4) 4 ≈ 4

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{216} + \sqrt{6})\sqrt{6}$$

Решение

Вычислим выражение: (√216 + √6)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √216 = 6√6, √6 = 1√6.

Тогда получаем (6√6 + 1√6)·√6 = 7√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 7·6 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 4(-3x + 9) = -10x + 33

Решение

Решим уравнение: 5 + 4(-3x + 9) = -10x + 33

Раскроем скобки:

5 + 4(-3x + 9) = -10x + 33

5 - 12x + 36 = -10x + 33

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-12x + 41 = -10x + 33

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-2x = -8

Разделим обе части на -2:

x = -8 / -2

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.85 и 0.15: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.5, по нижнему 0.15.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.85 · 0.5 = 0.425.

Нижний путь: 0.15 · 0.15 = 0.0225.

Складываем: 0.425 + 0.0225 = 0.4475.

Ответ: 0,4475

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = x - 3$

Б) $y = -2x$

В) $y = -3x - 3$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 50 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 2 450 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 2 450/(9,8·50) = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 25 > 0

x² - 25 < 0

x² - 25 ≥ 0

x² - 25 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.

Решение

Температура уменьшается равномерно на 7° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 7·4 = 28° C.

Итоговая температура: -6 - 28 = -34.

Ответ: -34.

Ответ: -34

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 9, BC = 16, sin ∠ABC = 7/12. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 9 · 16 · $\frac{7}{12}$ = 1008/24 = 42.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 26. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение

Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Поэтому радиус равен половине стороны: r = 26 / 2 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 40° и 35°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 40° + 35° = 75°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 75° = 105°.

Ответ: 105.

Ответ: 105

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=4: t=(7−4)/(7−1)=$\frac{1}{2}$. x_A=2,5, x_B=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $13a-43b+17$, если $\dfrac{5a-2b+2}{2a-5b+2}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $13a-43b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $5a-2b+2 = 9(2a-5b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $5a-2b+2 = 18a-45b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 13a-43b+16$, откуда $13a-43b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $13a-43b+17 = -16+17 = 1$.

Ответ: 1.

Правильный ответ: 1

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+16):

105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).

1680 = 4·x² + 64·x.

4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 9\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 9.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 9.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 9.

Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 10, CK = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 10.

Шаг 3. BC = BK + CK = 10 + 15 = 25.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(10 + 25) = 70.

Ответ: 70.

Правильный ответ: 70

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: два треугольника с общим основанием и равными высотами имеют равные площади.

Шаг 1. △ABD и △CBD — разные, но оба имеют основание BD.

BC ∥ AD ⟹ △ABC и △DBC имеют одинаковую высоту до прямой BC.

S(△ABD) = S(△ACD) (общее основание AD, одинаковая высота от BC ∥ AD).

Шаг 2. Вычтем из обеих частей S(△AOD) (общую часть):

S(△AOB) = S(△COD). ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:

a = 22, b = 88.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.

Ответ: 8,8.

Правильный ответ: 8,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.