Загрузка заданий...

Вариант 1730 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Полянка до Захарово: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 15 ч.

В минутах это 80 мин.

Ответ: 80.

Ответ: 80

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Масловка	Захарово	Вёсенка	Полянка
Молоко (1 л)	43	49	50	45
Хлеб (1 батон)	27	41	31	26
Сыр «Российский» (1 кг)	272	279	269	277
Говядина (1 кг)	354	343	339	336
Картофель (1 кг)	26	18	19	32

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка. Саша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Масловка: 2·43=86 + 3·27=81 + 2·354=708 + 4·26=104 + 1·272=272 = 1 251

Захарово: 2·49=98 + 3·41=123 + 2·343=686 + 4·18=72 + 1·279=279 = 1 258

Вёсенка: 2·50=100 + 3·31=93 + 2·339=678 + 4·19=76 + 1·269=269 = 1 216

Полянка: 2·45=90 + 3·26=78 + 2·336=672 + 4·32=128 + 1·277=277 = 1 245

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вёсенка": 1 216 руб.

Ответ: 1 216.

Ответ: 1216

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$37,5 : 0,4 : 6,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $37,5 : 0,4 : 6,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(37,5) : 0,4 = 93,75$.

Шаг 2: $(93,75) : 6,25 = 15$.

Ответ: $15$.

Ответ: 15

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

3 - a > 0

$\frac{1}{a} < 0$

a > 3

2 - a > 0

Решение

По чертежу видно, что 2 < a < 3.

Проверим варианты ответа:

1) 3 - a > 0 ⇔ a < 3 — верно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a > 3 ⇔ a > 3 — неверно.

4) 2 - a > 0 ⇔ a < 2 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 3)(\sqrt{6} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√6 - 3)(√6 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√6)² - 3² = 6 - 9 = -3.

Ответ: -3.

Ответ: -3

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 10x + 25 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 10x + 25 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 25.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -10² - 4·1·25 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 10 / 2 = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 12 колец.

Решение

Подставим n = 12 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·12 = 54500.

Ответ: 54 500.

Ответ: 54 500

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 6)(x - 6) > 0

(-∞;-6)

(-∞;-6) ∪ (6;+∞)

(-∞;6]

[-6;6]

Решение

Нули выражения: x = -6 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 6) > 0 получаем решение (-∞;-6) ∪ (6;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 21 мест, а в седьмом ряду 30 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (30 - 21) / (7 - 4) = 3.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 21 - 3·3 = 12.

Последний ряд: a15 = a₁ + (15 - 1)·d = 12 + 14·3 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 46°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.

Решение

BH — высота, значит BH ⟂ AC.

Угол между AB и AC равен 46°.

Тогда угол между AB и BH равен 90° - 46° = 44°.

Ответ: 44.

Ответ: 44

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 16√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 16√2, то d = 16√2 · √2 = 32.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 32 / 2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 26, BD = 30, AB = 7. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 30 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 12 и 4.

Большая диагональ равна 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $12a-52b+39$, если $\dfrac{6a-2b+4}{2a-6b+4}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $12a-52b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-2b+4 = 9(2a-6b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-2b+4 = 18a-54b+36$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 12a-52b+32$, откуда $12a-52b = -32$.

Шаг 4. Вычисляем: $12a-52b+39 = -32+39 = 7$.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 2 ч раньше, значит его время меньше:

480/x − 480/(x+20) = 2.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):

480·(x+20) − 480·x = 2·x·(x+20).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 480·20 = 9600. Получаем:

2x² + 40x − 9600 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 40² + 4·2·9600 = 78400, √D = 280.

x = (−40 + 280) / (2·2) = 60 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 60 + 20 = 80 км/ч.

Ответ: 80.

Правильный ответ: 80

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+6,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; 5; 7,25 $.

Ответ: $ -5; 5; 7,25 $.

Правильный ответ: -5; 5; 7,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 15 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(15² − 12²) = √(81) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Q соответственно. Докажите, что отрезки BP и DQ равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: диагонали параллелограмма делятся пополам — O является центром симметрии.

Шаг 1. Точка O — центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей).

Шаг 2. Прямая через O пересекает AB в точке P и CD в точке Q.

Центральная симметрия переводит AB в CD и P в Q (так как O — центр).

Шаг 3. При центральной симметрии расстояния сохраняются, значит BP = DQ. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 200 ⟹ a+b = 100.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1500/100 = 30.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=100 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=30:

a = 10, b = 90.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 30·10/100 = 3.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.