Загрузка заданий...

Вариант 1758 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/60 R17.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.

Ответ: 245

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 245/60 R18?

Решение

В маркировке 245/60 R18 ширина шины равна 245 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 245 · 60 / 100 = 147 мм. Ответ: 147.

Ответ: 147

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/40 R19?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и нового колеса 275/40 R19. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/60 R17 получаем диаметр 701.8 мм. Ответ: 701.8.

Ответ: 701.8

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/50 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/60 R17 и колеса 275/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.7.

Ответ: 0.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$9 : 0,4 + 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $9 : 0,4 + 0,45$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(9) : 0,4 = 22,5$.

Шаг 2: $(22,5) + 0,45 = 22,95$.

Ответ: $22,95$.

Ответ: 22,95

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами 0 и 0,5?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{100}$

-1,35

$-\frac{15}{4}$

$\frac{53}{25}$

Решение

Сравним числа 0 и 0,5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 ($\frac{1}{100}$) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4\sqrt{7} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \sqrt{70}$$

Решение

Вычислим выражение: 4√7 · 5√10 · √70.

Перемножим коэффициенты: 4 · 5 = 20.

Подкоренные выражения дают: √7 · √10 · √70 = √(7·10·70) = √(4900) = 70.

Тогда всё выражение равно 20 · 70 = 1400.

Ответ: 1400.

Ответ: 1400

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 15x + 54 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 15x + 54 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -15, c = 54.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -15² - 4·1·54 = 9.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (15 - √9) / 2 = 6

x₂ = (15 + √9) / 2 = 9

Ответ: 6;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 10 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 10.

Благоприятных исходов: 6 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{6}{10}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = 2x^2 + 14x + 24$

В) $y = x + 1$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -40 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -40 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-40 − 32)/9 = -40.

Ответ: -40.

Ответ: -40

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 9) ≥ 0

[-9;9]

(-∞;9]

(9;+∞)

(-∞;-9] ∪ [9;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -9 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 9) >= 0 получаем решение (-∞;-9] ∪ [9;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 54 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 54 минут пройдёт 6 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^6 = 6,25 мг.

Ответ: 6,25.

Ответ: 6,25

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, AB = 5. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{3}{5}$ = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 9√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 9√3 · √3 = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

Решение

Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.

h₁ = 48 / 8 = 6, h₂ = 48 / 16 = 3.

Требуемая высота равна 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 6 и 6.

Большая диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Все хорды одной окружности равны между собой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.

2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.

3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2-2x=y,\\3x-2=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба выражения равны $y$ — приравниваем их между собой.

Шаг 1. Из системы следует $3x^2-2x=3x-2$.

Шаг 2. Переносим всё в левую часть:

$3x^2-2x-3x+2=0\Rightarrow 3x^2-5x+2=0$.

Шаг 3. Дискриминант: $D=25-24=1$, $\sqrt{D}=1$.

$x_1=\dfrac{5+1}{6}=1,\quad x_2=\dfrac{5-1}{6}=\dfrac{2}{3}$.

Шаг 4. Находим $y$ для каждого $x$:

При $x=1$: $y=3\cdot1-2=1$.

При $x=\dfrac{2}{3}$: $y=3\cdot\dfrac{2}{3}-2=0$.

Ответ: $\left(\dfrac{2}{3};\,0\right);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (2/3;0);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 30% воды, значит сухого вещества 70%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 72 кг сухих фруктов:

72 · 70/100 = 50,4 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 88% воды, значит сухого вещества 12%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,12·x = 50,4.

x = 50,4 / 0,12 = 420 кг.

Ответ: 420.

Правильный ответ: 420

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=3-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-2 $.

У функции $ y=3-\frac1x $ нет значений $ y=3 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=3,5 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=3; 3,5 $.

Ответ: 3; 3,5.

Правильный ответ: 3; 3,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 10, AC = 40.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 10 · 40 = 400.

Шаг 3. AB = √400 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 47° и 43°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 47° + 43° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 15 и 13.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 15 и (b-a)/2 = 13 (или наоборот).

a+b = 30, b-a = 26.

b = 28, a = 2.

Ответ: 2; 28.

Правильный ответ: 2; 28

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.