Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.
Ответ: 235
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/60 R17?
Решение
В маркировке 225/60 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 225 · 60 / 100 = 135 мм. Ответ: 135.
Ответ: 135
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R18?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и нового колеса 235/45 R18. Ответ: 14.8.
Ответ: 14.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/55 R16 получаем диаметр 653.9 мм. Ответ: 653.9.
Ответ: 653.9
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и колеса 235/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
Ответ: 1.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 \cdot \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,3 \cdot \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) \cdot \frac{1}{5} = 0,06\).
Получили результат \(0,06\).
Ответ: \(0,06\).
Ответ: 0,06
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
a + 3 > 0
3
-3 - a > 0
4
a + 2 > 0
Решение
По чертежу видно, что -3 < a < -2.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — верно.
3) -3 - a > 0 ⇔ a < -3 — неверно.
4) a + 2 > 0 ⇔ a > -2 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(3\sqrt{2})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (3√2)².
Используем свойство степени произведения: (3√2)² = 3² · (√2)².
Домножим обе части на НОК знаменателей 4 и 6, то есть на 12.
Получим:
(9x + 21) - (10x + 0) - 12x = 60
Приведём подобные слагаемые:
-13x + 21 = 60
Перенесём число в правую часть:
-13x = 39
Разделим обе части на -13:
x = 39 / -13
x = -3
Ответ: -3
Ответ: -3
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.5 и 0.5: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.375, по нижнему 0.125.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.5 · 0.375 = 0.1875.
Нижний путь: 0.5 · 0.125 = 0.0625.
Складываем: 0.1875 + 0.0625 = 0.25.
Ответ: 0,25
Ответ: 0,25
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = \sqrt{x}\)
Б) \(y = -2x - 4\)
В) \(y = -x^2 - 2\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает кинетической энергией 231,2 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 231,2·1000 = 231 200 Дж.
v = √(2·231 200/1600) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 8)(x - 4) > 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 4) > 0 получаем решение (-∞;-8) ∪ (4;+∞). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
Ответ: 5
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
R = 18√3 · √3 / 3 = \(\frac{54}{3}\) = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 79% воды, значит сухого вещества 21%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 288 кг свежих фруктов:
288 · 21/100 = 60,48 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 60,48.
x = 60,48 / 0,84 = 72 кг.
Ответ: 72.
Правильный ответ: 72
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 87.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.
Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.
h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin60°.
Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:
h = CD · sin(∠BCD) = 87 · sin150°.
Шаг 3. Из равенства: AB · sin60° = 87 · sin150°.
AB = 87 · sin150°/sin60° (здесь sin150°/sin60° = √\(\frac{3}{3}\)).
AB = 29√3.
Ответ: 29√3.
Правильный ответ: 29√3
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что CM — биссектриса угла BCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. AD = 2·CD (по условию), M — середина AD.
Значит AD/2 = CD/2 ... нет: AD = AD, AD/2 = CD.
Шаг 2. В параллелограмме CD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном CM и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ CM — биссектриса угла BCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=44 и R=77.
O₁O₂ = r + R = 121 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(77·44) = 2√3388 = 44√7.
