Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1Задание 11 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
Объекты
жилой дом
баня
гараж
теплица
Цифры
Решение
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.
Получаем последовательность: 7425.
Ответ: 7425
2Задание 21 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
Ответ: 7
3Задание 31 балл
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
Решение
По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.
Ответ: 36.
Ответ: 36
4Задание 41 балл
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
Решение
Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.
Ответ: 29.
Ответ: 29
5Задание 51 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.
Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Нагреватель (котёл)
Прочее оборудование и монтаж
Средн. расход газа / средн. мощность
Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление
20 000 руб.
15 370 руб.
1,6 куб. м/ч
4,9 руб./куб. м
Электр. отопление
15 000 руб.
14 000 руб.
4,9 кВт
4,2 руб./(кВт·ч)
Решение
Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.
Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.
Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.
Ответ: 500.
Ответ: 500
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,15 + \frac{3}{5} : 0,15$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,15 + \frac{3}{5} : 0,15\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{5}) : 0,15 = 4\).
Шаг 2: \((0,15) + 4 = 4,15\).
Получили результат \(4,15\).
Ответ: \(4,15\).
Ответ: 4,15
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} < 0\)
2
6 - a > 0
3
a - 6 > 0
4
7 - a < 0
Решение
По чертежу видно, что 6 < a < 7.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) 6 - a > 0 ⇔ a < 6 — неверно.
3) a - 6 > 0 ⇔ a > 6 — верно.
4) 7 - a < 0 ⇔ a > 7 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√5 - 5)(√5 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 5² = 5 - 25 = -20.
Ответ: -20.
Ответ: -20
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 7x - 18 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 - 7x - 18 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -7, c = -18.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -7² - 4·1·-18 = 121.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (7 - √121) / 2 = -2
x₂ = (7 + √121) / 2 = 9
Ответ: -2;9
Ответ: -2;9
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события B.
Решение
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события B: 4.
\(P=4/8=0,5\).
Ответ: 0,5
Ответ: 0,5
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -x^2 + 4x - 3\)
Б) \(y = \dfrac{1}{x}\)
В) \(y = \dfrac{1}{3}x + 2\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 30 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = 30 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(30) + 32 = 86.
Ответ: 86.
Ответ: 86
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 8)(x - 8) < 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -8 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 8) < 0 получаем решение (-8;8). Это вариант 3.
Ответ: 3
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.
Ответ: 4.
Ответ: 4
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике два угла равны 52° и 67°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 52° - 67° = 61°.
Ответ: 61.
Ответ: 61
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 19° = 38°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 38° = 142°.
Ответ: 142.
Ответ: 142
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 10, а tg ∠BCA = 0,6. Найдите площадь ромба.
Решение
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 10 · 0,6 = 6.
S = AC · BD / 2 = 10 · 6 / 2 = 30.
Ответ: 30.
Ответ: 30
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 6, высота равна 2.
S = 6 · 2 = 12.
Ответ: 12.
Ответ: 12
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/60 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/90 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/60 + S/90) = 2 / (\(\frac{1}{60}\) + \(\frac{1}{90}\)).
Постройте график функции \( y=-5-\dfrac{x-2}{x^2-2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=-5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=2 \).
У функции \( y=-5-\frac1x \) нет значений \( y=-5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=-5,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=-5,5; -5 \).
Ответ: -5,5; -5.
Правильный ответ: -5,5; -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 36.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 36 = 144.
Шаг 3. AB = √144 = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка O лежит на биссектрисе угла B.
⟹ расстояние от O до обеих сторон угла B одинаково.
Шаг 2. Точка O лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от O до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от O до каждой из прямых AB, BC и CD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 12 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 10 · 12 = 120.
BE = √120 = 2√6.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 2√6.
