Загрузка заданий...

Вариант 1864 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

Ответ: 1243

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

Ответ: 312.5

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

Ответ: 150

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

Ответ: 4800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{100} : 10 \cdot 4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{100} : 10 \cdot 4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{100}) : 10 = 0,007$.

Шаг 2: $(0,007) \cdot 4 = 0,028$.

Получили результат $0,028$.

Ответ: $0,028$.

Ответ: 0,028

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > -7

a - 8 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

7 - a < 0

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) -a > -7 ⇔ a < 7 — неверно.

2) a - 8 > 0 ⇔ a > 8 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) 7 - a < 0 ⇔ a > 7 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2)$$

Решение

Вычислим выражение: (√6 - 2)(√6 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√6)² - 2² = 6 - 4 = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 2} = -6$$

Решение

Решим уравнение: -6/(x - 2) = -6

Область допустимых значений: x != 2.

Умножим обе части уравнения на x - 2:

-6 = -6(x - 2)

Раскроем скобки:

-6 = -6x + 12

Перенесём число в левую часть:

-18 = -6x

x = -18 / -6

x = 3

Проверка ОДЗ: x = 3, x != 2, условие выполняется.

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 40 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 40 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(40) + 32 = 104.

Ответ: 104.

Ответ: 104

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 49 ≥ 0

(-∞;-7] ∪ [7;+∞)

[-7;7]

(-7;7)

(-∞;-7) ∪ (7;+∞)

Решение

Решаем x² - 49 >= 0. Нули: x = -7 и x = 7. Верное решение: (-∞;-7] ∪ [7;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 6 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -3, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 6(2·20 + 5·(-3))/2 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 66° и BM = AM = MC.

Решение

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 66°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·66° = 48°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 48° = 132°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 132° = 180°.

Отсюда x = 90° - 66° = 24°.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 74° = 148°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 148° = 32°.

Ответ: 32.

Ответ: 32

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 3 = 15.

S = 15 · 5 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 12 и 4.

Искомое отношение площадей равно (12 / 4)² = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.

3) Неверно: такие прямые параллельны.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x}-4=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x}$ сводит уравнение к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{x^2}=t^2$, $\frac{1}{x}=t$:

$t^2-3t-4=0$.

Шаг 2. Разложим на множители: $(t-4)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=4$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Обратная замена $x=\frac{1}{t}$:

Если $t=4$: $x=\dfrac{1}{4}$.

Если $t=-1$: $x=-1$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne0$ — оба корня подходят.

Ответ: $-1;\quad \dfrac{1}{4}$.

Правильный ответ: -1;1/4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 200/50 = 4 ч,

t₂ = 180/90 = 2 ч,

t₃ = 180/45 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 180 + 180 = 560 км.

Шаг 3. Общее время: 4 + 2 + 4 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 560 / 10 = 56 км/ч.

Ответ: 56.

Правильный ответ: 56

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+0,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1,25; -1; 1 $.

Ответ: $ -1,25; -1; 1 $.

Правильный ответ: -1,25; -1; 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 140 и 147. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(140² + 147²) = √41209 = 203.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 140·147/2 = 10290.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 203·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 203·h/2 = 10290 ⟹ h = 140·147/203 = 2940/29.

Ответ: 2940/29.

Правильный ответ: 2940/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 2, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 24² = 576, AD·BC = 34·2 = 68.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 13,5.

Ответ: 13,5.

Правильный ответ: 13,5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.