Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
Ответ: 265
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
Ответ: 132.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
Ответ: 15.8
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
Ответ: 677.7
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
Ответ: 2.7
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,1 + \frac{1}{10} \cdot 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,1 + \frac{1}{10} \cdot 0,4\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{10}) \cdot 0,4 = 0,04\).
Шаг 2: \((0,1) + 0,04 = 0,14\).
Получили результат \(0,14\).
Ответ: \(0,14\).
Ответ: 0,14
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Одно из чисел \(\frac{-40}{13}\), -2,284, -0,63, \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{-40}{13}\)
2
-2,284
3
-0,63
4
\(\frac{\sqrt{15}}{2}\)
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-40}{13}\) ≈ -3,0769
2) -2,284 ≈ -2,284
3) -0,63 ≈ -0,63
4) \(\frac{\sqrt{15}}{2}\) ≈ 1,9365
Точке A соответствует вариант 4.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{176} + \sqrt{176})\sqrt{11}$$
Проверка ОДЗ: x = 2, x != -4, условие выполняется.
Ответ: 2
Ответ: 2
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 25 чашек: 14 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 11 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{11}{25}\) = 0,44.
Ответ: 0,44.
Ответ: 0,44
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.
Коэффициенты
А) k < 0, b < 0
Б) k < 0, b > 0
В) k > 0, b > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 312.
Ответ: 312
12Расчёты по формулам1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1200 кг обладает кинетической энергией 173,4 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 173,4·1000 = 173 400 Дж.
v = √(2·173 400/1200) = 17.
Ответ: 17.
Ответ: 17
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
-9x + 6 > -5x - 10
1
(-∞;4)
2
(-∞;0)
3
(0;+∞)
4
(4;+∞)
Решение
Решим неравенство: -9x + 6 > -5x - 10.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x < -16.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -4: x < 4.
Значит, x меньше 4.
Этому соответствует промежуток (-∞;4).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.
После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.
Ответ: 6.
Ответ: 6
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 64°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Биссектриса делит угол пополам.
Поэтому ∠BAD = 64° : 2 = 32°.
Ответ: 32.
Ответ: 32
16Окружность, круг и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 60°, AB = 10√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 60°).
Подстановка даёт R = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 7, AB = 9. Найдите AC.
Решение
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·7 = 14.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.
Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
2
Боковые стороны любой трапеции равны.
3
Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(34a-6b+28\), если \(\dfrac{2a-6b+3}{6a-2b+3}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(34a-6b\) и подставить.
Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 36 · 44 = 1584.
AT = √1584.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 8 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{11}{6}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
