Загрузка заданий...

Вариант 1894 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.

Ответ: 225

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?

Решение

В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.

Ответ: 120.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.

Ответ: 6.8

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

Ответ: 614.6

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.

Ответ: 1.3

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,15 - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,15 - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) \cdot \frac{2}{5} = 0,08$.

Шаг 2: $(0,15) - 0,08 = 0,07$.

Получили результат $0,07$.

Ответ: $0,07$.

Ответ: 0,07

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?

В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{-39}{11}$

-0,163

$\frac{7}{3}$

$\sqrt{28}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 5 и 6.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) $\frac{-39}{11}$ ≈ -3,5455

2) -0,163 ≈ -0,163

3) $\frac{7}{3}$ ≈ 2,3333

4) $\sqrt{28}$ ≈ 5,2915

Точке A соответствует вариант 4.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-1} \cdot (3^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(-1) · (3^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^2 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-1 · 3^6 = 3^5.

Получаем 3^5 = 243.

Ответ: 243.

Ответ: 243

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x - 6y = 6 \\ 8x + 2y = -72 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

6x - 6y = 6

8x + 2y = -72

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на 6.

Получим:

$(6x - 6y = 6) \cdot 8$: 48x - 48y = 48

$(8x + 2y = -72) \cdot 6$: 48x + 12y = -432

Вычтем второе уравнение из первого:

-60y = 480

y = 480 / -60 = -8

Подставим y = -8 в первое уравнение:

6x - 6y = 6

Получаем x = -7.

Ответ: (-7;-8)

Ответ: -7;-8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Всего исходов: 32. Вероятность события $A \cup \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=28/32=0,875$.

Ответ: 0,875

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c > 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -90 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -90 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-90) + 32 = -130.

Ответ: -130.

Ответ: -130

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -2,4 − 4x \leqslant 5,6 \\ x + 0,3 < 9,3 \end{cases}$$

Решение

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-2;9). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 9/7, BC = 42. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 42 · $\frac{9}{7}$ = 54.

Ответ: 54.

Ответ: 54

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

Значит, диагональ равна 10.

Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.

После вычисления сторон получаем площадь 48.

Ответ: 48.

Ответ: 48

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 10.

Решение

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (2 + 10) / 2 = 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=3, MC=6. MC=2·AM.

Ответ: 2.

Ответ: 2

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.

2) Неверно.

3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-19<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+5)^2-6<0$.

Шаг 2. $(x+5)^2<6$.

Шаг 3. $-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}$.

Шаг 4. Вычитаем 5: $-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}$.

Ответ: $(-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})$.

Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 16 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 60 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.

Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.

Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−16)) + 1/(2·96).

Шаг 3. Умножаем на 2·(x−16)·x·96 и упрощаем.

С учётом условия получаем x = 64.

Ответ: 64.

Правильный ответ: 64

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}2{,}5x-3{,}5,& x<2,\\-3x+7{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-6,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-3;-1,5)∪{1,5}.

Ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}.

Правильный ответ: (-3;-1,5)∪{1,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 36 = 144.

Шаг 3. AB = √144 = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 132° − 90° = 42°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 93° − 90° = 3°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 42° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 3° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 3° = 87°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 87° − 42° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 18 / sin(45°) = 18√2.

Ответ: 18√2.

Правильный ответ: 18√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.