Загрузка заданий...

Вариант 1909 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,5 \cdot \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,5 \cdot \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,5) \cdot \frac{1}{5} = 0,1$.

Получили результат $0,1$.

Ответ: $0,1$.

Ответ: 0,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше -3,8, но меньше $2\sqrt{2}$.
В ответе укажите номер правильного варианта.

4,6

-4,8

0,3

Решение

Сравним числа -3,8 и $2\sqrt{2}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (0,3) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{360} + \sqrt{250})\sqrt{10}$$

Решение

Вычислим выражение: (√360 + √250)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √360 = 6√10, √250 = 5√10.

Тогда получаем (6√10 + 5√10)·√10 = 11√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 11·10 = 110.

Ответ: 110.

Ответ: 110

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 4x + 3 = 31

Решение

Решим уравнение: 4x + 3 = 31

Перенесём 3 в правую часть:

4x = 31 - 3

4x = 28

Разделим обе части на 4:

x = 28 / 4

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 149 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 51 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 51/200 = 0,255.

Ответ: 0,255.

Ответ: 0,255

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = 3x - 3$

Б) $y = -x + 4$

В) $y = \dfrac{1}{2}x + 3$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 14, sinα = 0,091, а S = 6,364.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·6,364/(14·0,091) = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 3) < 0

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 3) < 0 получаем решение (-1;3). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 23° = 67°.

Ответ: 67.

Ответ: 67

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 14√2, то d = 14√2 · √2 = 28.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 28 / 2 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 2 = 5.

S = 5 · 4 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 8, высота равна 5.

S = 8 · 5 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Все углы ромба равны.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Любые два равносторонних треугольника подобны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $27a-51b+40$, если $\dfrac{8a-5b+5}{5a-8b+5}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $27a-51b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-5b+5 = 7(5a-8b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-5b+5 = 35a-56b+35$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 27a-51b+30$, откуда $27a-51b = -30$.

Шаг 4. Вычисляем: $27a-51b+40 = -30+40 = 10$.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 105/35 = 3 ч,

t₂ = 120/60 = 2 ч,

t₃ = 500/100 = 5 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 105 + 120 + 500 = 725 км.

Шаг 3. Общее время: 3 + 2 + 5 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 725 / 10 = 72,5 км/ч.

Ответ: 72,5.

Правильный ответ: 72,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 5.

Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(15² + 36²) = √1521 = 39.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 15·$\frac{36}{2}$ = 270.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 39·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 39·h/2 = 270 ⟹ h = 15·$\frac{36}{39}$ = 180/13.

Ответ: 180/13.

Правильный ответ: 180/13

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 40 ⟹ a+b = 20.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·$\frac{80}{20}$ = 8.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=20 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=8:

a = 4, b = 16.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 8·$\frac{4}{20}$ = 1,6.

Ответ: 1,6.

Правильный ответ: 1,6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.