Загрузка заданий...

Вариант 1935 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 40 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,4 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,12 = 48.

В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 4 упаковки.

Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

Ответ: 4,32

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

Ответ: 1000

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,002 + 25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,002 + 25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,002) + 25 = 25,002$.

Ответ: $25,002$.

Ответ: 25,002

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a < 1

$\frac{1}{a} > 0$

a < -2

-a < 2

Решение

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) -a < 1 ⇔ a > -1 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.

4) -a < 2 ⇔ a > -2 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 3)(\sqrt{7} + 3)$$

Решение

Вычислим выражение: (√7 - 3)(√7 + 3).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√7)² - 3² = 7 - 9 = -2.

Ответ: -2.

Ответ: -2

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 14x + 49 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 14x + 49 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 14, c = 49.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 14² - 4·1·49 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -14 / 2 = -7

Ответ: -7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 4 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 121 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 121/125 = 0,968.

Ответ: 0,968.

Ответ: 0,968

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 90,75 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 90,75/(5,5²) = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

2x + 6 ≤ -8x - 10

[1,6;+∞)

(-∞;1,6]

(-∞;-1,6]

[-1,6;+∞)

Решение

Решим неравенство: 2x + 6 <= -8x - 10.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 10x <= -16.

Делим обе части на 10: x <= -1,6.

Значит, x меньше или равно -1,6.

Этому соответствует промежуток (-∞;-1,6].

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,4, d = 0,1, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 3,9.

Ответ: 3,9.

Ответ: 3,9

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 72, AB = 75. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{72}{75}$ = 0,96.

Ответ: 0,96.

Ответ: 0,96

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg ∠BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 36 · $\frac{4}{3}$ = 48.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 36 · 48 / 2 = 864.

Сторона ромба a = √(($\frac{36}{2}$)² + ($\frac{48}{2}$)²) = 30.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 864 / (2·30) = 14,4.

Ответ: 14,4.

Ответ: 14,4

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Сторона ромба равна 24 / 4 = 6.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 6² · sin 30° = 6² · $\frac{1}{2}$ = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок MC длиннее отрезка AM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M лежит на AC. По клеткам: AM=2, MC=8. MC=4·AM.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-6)^2<\sqrt{10}(x-6)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-6)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-6)^2-\sqrt{10}(x-6)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-6)\bigl[(x-6)-\sqrt{10}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=6$ и $x=6+\sqrt{10}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(6;\; 6+\sqrt{10})$.

Правильный ответ: (6;6+√10)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/x − 216/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).

1944 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 14, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 7.

R² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.

d² = R² − 24² = 625 − 576 = 49. d = 7.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка E равноудалена от C и D

⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.

Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.

Следовательно, EF ⟂ CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 36, AC = 54, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 36²/54 = 1296/54.

Шаг 4. CD = AC − AD = 54 − 1296/54 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.