Загрузка заданий...

Вариант 1937 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между стоимостями и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для стоимостей 15 000, 19 500 и 18 000 руб.

Стоимость (руб.)	15 000	19 500	18 000
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 321.

Ответ: 321

2 Задание 2 1 балл

Найдите площадь пола парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Площадь пола: 3,5 · 2,2 = 7,7 кв. м. Ответ: 7,7.

Ответ: 7.7

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дороже электрической без учёта установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь стоит 15 000 руб. Без установки разница: 19 500 − 15 000 = 4 500 руб. Ответ: 4500.

Ответ: 4500

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 48 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 48 кг — №2, стоит 19 500 руб. Скидка 10% равна 1 950 руб. Новая цена: 19 500 − 1 950 = 17 550 руб. Ответ: 17550.

Ответ: 17550

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 60 : 2 = 30 см. Второй катет — высота боковой стенки: 40 см.

По теореме Пифагора: R = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 60 вместо половины: тогда выходит √(60² + 40²) ≈ 72, но это не радиус.

Ответ: 50.

Ответ: 50

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{2}{5} : \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{2}{5} : \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{2}{5}) : \frac{1}{4} = \frac{8}{5}$.

Получили дробь $\frac{8}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,6$.

Ответ: $1,6$.

Ответ: 1,6

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > -8

a < -9

$\frac{1}{a} > 0$

a + 8 < 0

Решение

По чертежу видно, что -9 < a < -8.

Проверим варианты ответа:

1) a > -8 ⇔ a > -8 — неверно.

2) a < -9 ⇔ a < -9 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√10 · 5√10 · √100.

Перемножим коэффициенты: 5 · 5 = 25.

Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.

Тогда всё выражение равно 25 · 100 = 2500.

Ответ: 2500.

Ответ: 2500

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{3}{x - 5} = 3$$

Решение

Решим уравнение: 3/(x - 5) = 3

Область допустимых значений: x != 5.

Умножим обе части уравнения на x - 5:

3 = 3(x - 5)

Раскроем скобки:

3 = 3x - 15

Перенесём число в левую часть:

18 = 3x

x = 18 / 3

x = 6

Проверка ОДЗ: x = 6, x != 5, условие выполняется.

Ответ: 6

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 127 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 73 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 73/200 = 0,365.

Ответ: 0,365.

Ответ: 0,365

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b > 0

2) k > 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 16, sinα = 0,714, а S = 114,286.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·114,286/(16·0,714) = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-x - 5 ≤ 9x - 12

[0,7;+∞)

(-∞;-0,7]

(-∞;0,7]

[1,7;+∞)

Решение

Решим неравенство: -x - 5 <= 9x - 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x >= -7.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -10: x >= 0,7.

Значит, x больше или равно 0,7.

Этому соответствует промежуток [0,7;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 9, d = 10, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·9 + 4·10)/2 = 145.

Ответ: 145.

Ответ: 145

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 16°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 16° = 74°.

Ответ: 74.

Ответ: 74

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 40.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 40 = 80.

S = a² = 80² = 6400.

Ответ: 6400.

Ответ: 6400

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 26°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 26° = 154°.

Ответ: 154.

Ответ: 154

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+1)^4+(x+1)^2-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+1)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=2$.

Шаг 3. Берём только $t=2$.

Шаг 4. Решаем $(x+1)^2=2$:

$x+1=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-1\pm\sqrt{2}$.

Ответ: $-1-\sqrt{2};\quad -1+\sqrt{2}$.

Правильный ответ: -1-√2;-1+√2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/54 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/90 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/54 + S/90) = 2 / ($\frac{1}{54}$ + $\frac{1}{90}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·54·90 / (54 + 90) = 9720 / 144 = 67,5 км/ч.

Ответ: 67,5.

Правильный ответ: 67,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{18}{x},& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 56 и 105. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(56² + 105²) = √14161 = 119.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 56·105/2 = 2940.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 119·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 119·h/2 = 2940 ⟹ h = 56·105/119 = 840/17.

Ответ: 840/17.

Правильный ответ: 840/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что AN — биссектриса угла BAD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. CD = 2·AD (по условию), N — середина CD.

Значит CD/2 = AD/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = AD.

Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном AN и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AN — биссектриса угла BAD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 10, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 6 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 8, AB = 6, CD = 10, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 6 = 7.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 7)/2 · 8 = 30.

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.