Загрузка заданий...

Вариант 1952 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 60 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,6 = 0,18 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,18 = 200.

В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 17 упаковок.

Ответ: 17.

Ответ: 17

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$22,5 - 0,3 + 0,875$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $22,5 - 0,3 + 0,875$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(22,5) - 0,3 = 22,2$.

Шаг 2: $(22,2) + 0,875 = 23,075$.

Ответ: $23,075$.

Ответ: 23,075

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < -6

$\frac{1}{a} > 0$

a + 7 < 0

a > -6

Решение

По чертежу видно, что -7 < a < -6.

Проверим варианты ответа:

1) a < -6 ⇔ a < -6 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a + 7 < 0 ⇔ a < -7 — неверно.

4) a > -6 ⇔ a > -6 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (4√6)².

Используем свойство степени произведения: (4√6)² = 4² · (√6)².

Получаем 16 · 6 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-5}{x + 6} = -1$$

Решение

Решим уравнение: -5/(x + 6) = -1

Область допустимых значений: x != -6.

Умножим обе части уравнения на x + 6:

-5 = -1(x + 6)

Раскроем скобки:

-5 = -1x - 6

Перенесём число в левую часть:

1 = -1x

x = 1 / -1

x = -1

Проверка ОДЗ: x = -1, x != -6, условие выполняется.

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Олег не выучил 21 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 4 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{25}$ = 0,16.

Ответ: 0,16.

Ответ: 0,16

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -25 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -25 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-25) + 32 = -13.

Ответ: -13.

Ответ: -13

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 64 > 0

(-∞;-8) ∪ (8;+∞)

(-∞;-8] ∪ [8;+∞)

[-8;8]

(-8;8)

Решение

Решаем x² - 64 > 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-∞;-8) ∪ (8;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = -7.

Последний положительный член прогрессии равен 4, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(18 + 4)/2 = 33.

Ответ: 33.

Ответ: 33

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 84°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 84° : 2 = 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 16. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 16 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 8, BD = 14, AB = 5. Найдите DO.

Решение

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 14 / 2 = 7.

Ответ: 7.

Ответ: 7

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 2.

Искомое отношение площадей равно (8 / 2)² = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $41a-31b+36$, если $\dfrac{4a-5b+3}{5a-4b+3}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $41a-31b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-5b+3 = 9(5a-4b+3)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-5b+3 = 45a-36b+27$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 41a-31b+24$, откуда $41a-31b = -24$.

Шаг 4. Вычисляем: $41a-31b+36 = -24+36 = 12$.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 13 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 208 деталей, на 8 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 13) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 208/x ч, первым — 208/(x+13) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 8 ч больше:

208/x − 208/(x+13) = 8.

Шаг 4. Умножаем на x(x+13):

208·(x+13) − 208·x = 8·x·(x+13).

2704 = 8·x² + 104·x.

8x² + 104x − 2704 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 104² + 4·8·2704 = 10816 + 86528 = 97344, √D = 312.

x = (−104 + 312) / (2·8) = 13 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 208/13 = 16 ч, первый — 208/26 = 8 ч.

16 − 8 = 8 = 8. ✓

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+1,\ x\ne -2 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-2 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-2; 2; 2,5 $.

Ответ: $ -2; 2; 2,5 $.

Правильный ответ: -2; 2; 2,5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 16 и CH = 4. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 16 + 4 = 20.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 20 и катетом DH = 16.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(20² − 16²) = √(144) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 8. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−4, 0), D = (4, 0) (|AD| = 8).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (8, h). На прямой BE точка E = (0, 8 − h), так как BE = 8.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{8}{4}$ = 6.

Шаг 5. AB = √(h² + (4)²) = √(36 + 16) = 2√13;

BC = 2·AB = 4√13; CA = 6√5.

Ответ: 2√13; 4√13; 6√5.

Правильный ответ: 2√13; 4√13; 6√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.