Загрузка заданий...

Вариант 1961 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

Ответ: 2413

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

Ответ: 2

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

Ответ: 1247.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

Ответ: 1250

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 + 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,3 + 0,8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,3) + 0,8 = 1,1$.

Ответ: $1,1$.

Ответ: 1,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -2,9, $\sqrt{8}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{50}{11}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,9

$\sqrt{8}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{50}{11}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,9 ≈ -2,9

2) $\sqrt{8}$ ≈ 2,8284

3) $\frac{7}{2}$ ≈ 3,5

4) $\frac{50}{11}$ ≈ 4,5455

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{5})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√5)².

Используем свойство степени произведения: (5√5)² = 5² · (√5)².

Получаем 25 · 5 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x + 6} = 7$$

Решение

Решим уравнение: 7/(x + 6) = 7

Область допустимых значений: x != -6.

Умножим обе части уравнения на x + 6:

7 = 7(x + 6)

Раскроем скобки:

7 = 7x + 42

Перенесём число в левую часть:

-35 = 7x

x = -35 / 7

x = -5

Проверка ОДЗ: x = -5, x != -6, условие выполняется.

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Всего элементарных исходов: 5. Благоприятных для события $A \cup \overline{B}$: 4.

$P=4/5=0,8$.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c > 0

3) a > 0, c < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -4 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = -4 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-4 − 32)/9 = -20.

Ответ: -20.

Ответ: -20

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 9)(x - 2) ≥ 0

[-9;+∞)

(-∞;2]

(2;+∞)

(-∞;-9] ∪ [2;+∞)

Решение

Нули выражения: x = -9 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 2) >= 0 получаем решение (-∞;-9] ∪ [2;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,6 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,6, d = 0,1, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 10,5.

Ответ: 10,5.

Ответ: 10,5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 83° и 79°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол равен 180° - 83° - 79° = 18°.

Ответ: 18.

Ответ: 18

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 60 / 2 = 30.

S = p·r = 30 · 6 = 180.

Ответ: 180.

Ответ: 180

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 25° + 30° = 55°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 55° = 125°.

Ответ: 125.

Ответ: 125

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 4, высота равна 5.

S = 4 · 5 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.

3) Неверно: такие прямые параллельны.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $7a-3b+20$, если $\dfrac{2a-3b+7}{3a-2b+7}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $7a-3b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-3b+7 = 3(3a-2b+7)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-3b+7 = 9a-6b+21$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 7a-3b+14$, откуда $7a-3b = -14$.

Шаг 4. Вычисляем: $7a-3b+20 = -14+20 = 6$.

Ответ: 6.

Правильный ответ: 6

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/60 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/90 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/60 + S/90) = 2 / ($\frac{1}{60}$ + $\frac{1}{90}$).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·60·90 / (60 + 90) = 10800 / 150 = 72 км/ч.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-2-\dfrac{x+4}{x^2+4x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-2-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-4 $.

У функции $ y=-2-\frac1x $ нет значений $ y=-2 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-1,75 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-2; -1,75 $.

Ответ: -2; -1,75.

Правильный ответ: -2; -1,75

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 12.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 63° − 87° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·12·($\frac{1}{2}$) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 39° и 51°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 4. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 39° + 51° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 16 и 4.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 16 и (b-a)/2 = 4 (или наоборот).

a+b = 32, b-a = 8.

b = 20, a = 12.

Ответ: 12; 20.

Правильный ответ: 12; 20

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.