Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
1189
841
4
210
148
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$4 + \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4 + \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4) + \frac{1}{5} = 4,2\).
Получили результат \(4,2\).
Ответ: \(4,2\).
Ответ: 4,2
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
\(\frac{1}{a} > 0\)
2
a + 8 < 0
3
a + 9 < 0
4
-a < 8
Решение
По чертежу видно, что -9 < a < -8.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — верно.
3) a + 9 < 0 ⇔ a < -9 — неверно.
4) -a < 8 ⇔ a > -8 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{4}$$
Проверка ОДЗ: x = -8, x != -9, условие выполняется.
Ответ: -8
Ответ: -8
10Статистика, вероятности1 балл
В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 22 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Всего равновозможных исходов: 125.
Благоприятных исходов: 103 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 103/125 = 0,824.
Ответ: 0,824.
Ответ: 0,824
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 23 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Подставим t_F = 23 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(23 − 32)/9 = -5.
Ответ: -5.
Ответ: -5
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства
7x - x2 ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Разложим: 7x - x² = x(7 - x). Нули: 0 и 7. Верное решение: (-∞;0] ∪ [7;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 640 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.
Тогда масса станет равна 640·(\(\frac{1}{2}\))^5 = 20 мг.
Ответ: 20.
Ответ: 20
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 9/10, AB = 60. Найдите BC.
Решение
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 60 · \(\frac{9}{10}\) = 54.
Ответ: 54.
Ответ: 54
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 12 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Острый угол равен 78°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Решение
Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.
Тупой угол ромба равен 180° - 78° = 102°.
Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 102° / 2 = 51°.
Ответ: 51.
Ответ: 51
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Идея: слагаемое \(\sqrt{6-x}\) одинаково с обеих сторон — сокращаем.
Шаг 1. Вычитаем \(\sqrt{6-x}\) из обеих частей:
\(x^2-2x=35\).
Шаг 2. Решаем:
\(x^2-2x-35=0\Rightarrow(x-7)(x+5)=0\).
Корни: \(x=7\) и \(x=-5\).
Шаг 3. ОДЗ: \(6-x\ge0\Rightarrow x\le6\).
Значение \(x=7\) не подходит. Остаётся \(x=-5\).
Ответ: \(-5\).
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 204 кг свежих фруктов:
204 · 14/100 = 28,56 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 28,56.
x = 28,56 / 0,84 = 34 кг.
Ответ: 34.
Правильный ответ: 34
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 6\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 6.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 6.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 6. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 6.
Проверка: при m = 6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.
Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.
Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.
Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).
Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).
PK = BH = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка I равноудалена от A и B
⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.
Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 и 10, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 8 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 6, AB = 8, CD = 10, BC = 2.
