Загрузка заданий...

Вариант 2025 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?

Решение

В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.

Ответ: 115.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.

Ответ: 9.1

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.

Ответ: 591

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 : \frac{1}{5}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) : \frac{1}{5} = 1$.

Получили результат $1$.

Ответ: $1$.

Ответ: 1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1 - a < 0

$\frac{1}{a} > 0$

a + 1 < 0

-2 - a > 0

Решение

По чертежу видно, что -2 < a < -1.

Проверим варианты ответа:

1) -1 - a < 0 ⇔ a > -1 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a + 1 < 0 ⇔ a < -1 — верно.

4) -2 - a > 0 ⇔ a < -2 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-3} \cdot (5^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-3) · (5^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-3 · 5^6 = 5^3.

Получаем 5^3 = 125.

Ответ: 125.

Ответ: 125

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 5(-6x + 6) = 2x + 288

Решение

Решим уравнение: 2 + 5(-6x + 6) = 2x + 288

Раскроем скобки:

2 + 5(-6x + 6) = 2x + 288

2 - 30x + 30 = 2x + 288

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-30x + 32 = 2x + 288

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-32x = 256

Разделим обе части на -32:

x = 256 / -32

x = -8

Ответ: -8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 1 чёрных, 23 жёлтых и 16 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 23 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{23}{40}$ = 0,575.

Ответ: 0,575.

Ответ: 0,575

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 12 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·12² / 2 = 0,0072.

Ответ: 0,0072.

Ответ: 0,0072

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 4)(x - 10) < 0

(-∞;-4) ∪ (10;+∞)

(-4;10)

(-∞;10]

[-4;10]

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 10) < 0 получаем решение (-4;10). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 42 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 42 минут пройдёт 7 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^7 = 3,125 мг.

Ответ: 3,125.

Ответ: 3,125

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 21, сторона BC равна 55, сторона AC равна 64. Найдите MN.

Решение

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Поэтому MN = AC : 2 = 64 : 2 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 67° / 2 = 33,5°.

Ответ: 33,5.

Ответ: 33,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Решение

Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.

sin 150° = $\frac{1}{2}$.

h = 34 · $\frac{1}{2}$ = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-19<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+5)^2-6<0$.

Шаг 2. $(x+5)^2<6$.

Шаг 3. $-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}$.

Шаг 4. Вычитаем 5: $-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}$.

Ответ: $(-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})$.

Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 200/50 = 4 ч,

t₂ = 320/80 = 4 ч,

t₃ = 140/35 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 320 + 140 = 660 км.

Шаг 3. Общее время: 4 + 4 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 660 / 12 = 55 км/ч.

Ответ: 55.

Правильный ответ: 55

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 1. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 1.

Проверка: при m = 1 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 1.

Правильный ответ: 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 11.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 11.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 40 ⟹ a+b = 20.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·$\frac{80}{20}$ = 8.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=20 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=8:

a = 4, b = 16.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 8·$\frac{4}{20}$ = 1,6.

Ответ: 1,6.

Правильный ответ: 1,6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.