Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 27.09.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
1189
841
4
210
148
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,03 + 0,3 + 0,12$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,03 + 0,3 + 0,12\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,03) + 0,3 = 0,33\).
Шаг 2: \((0,33) + 0,12 = 0,45\).
Ответ: \(0,45\).
Ответ: 0,45
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-a < 4
2
-5 - a > 0
3
\(\frac{1}{a} > 0\)
4
a > -5
Решение
По чертежу видно, что -5 < a < -4.
Проверим варианты ответа:
1) -a < 4 ⇔ a > -4 — неверно.
2) -5 - a > 0 ⇔ a < -5 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) a > -5 ⇔ a > -5 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{5})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (4√5)².
Используем свойство степени произведения: (4√5)² = 4² · (√5)².
Получаем 16 · 5 = 80.
Ответ: 80.
Ответ: 80
9Уравнения, системы уравнений1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 4x + y = 5 \\ -2x - 4y = -6 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
4x + y = 5
-2x - 4y = -6
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на 4.
Получим:
\((4x + y = 5) \cdot -2\): -8x - 2y = -10
\((-2x - 4y = -6) \cdot 4\): -8x - 16y = -24
Вычтем второе уравнение из первого:
14y = 14
y = 14 / 14 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
4x + y = 5
Получаем x = 1.
Ответ: (1;1)
Ответ: 1;1
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\).
Решение
Всего элементарных исходов: 5. Благоприятных для события \(\overline{A} \cup B\): 4.
\(P=4/5=0,8\).
Ответ: 0,8
Ответ: 0,8
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
Б) \(y = -x + 3\)
В) \(y = -3x + 3\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;6,6]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 11 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?
Решение
Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 11, d = 10, n = 4.
Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·11 + 3·10)/2 = 104.
Ответ: 104.
Ответ: 104
15Треугольники и их элементы1 балл
Биссектриса равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 9√3.
Отсюда a / 2 = 9, значит a = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 14, CD = 17. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 12 + 17 - 14 = 15.
Ответ: 15.
Ответ: 15
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Сторона ромба равна 14, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Решение
Высота ромба равна произведению стороны на синус угла.
sin 150° = \(\frac{1}{2}\).
h = 14 · \(\frac{1}{2}\) = 7.
Ответ: 7.
Ответ: 7
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
1
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2
Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3
Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(4a-20b+15\), если \(\dfrac{8a-4b+5}{4a-8b+5}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(4a-20b\) и подставить.
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{3}\), то есть BN = 1·BC/3.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 12.
Подставляем: BN = 1·(BN + 12)/3.
3·BN = 1·BN + 1·12.
(3−1)·BN = 12 ⟹ BN = 12/(3−1) = 6.
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 40, AC = 64, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
