Загрузка заданий...
Вариант 2102 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 150 мин., 300 мин., 175 мин., 375 мин.
| Исходящие вызовы | 150 мин. | 300 мин. | 175 мин. | 375 мин. |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в августе?
Решение
По условию и ключу источника расходы в августе составляют 425 руб. Ответ: 425.
Ответ: 425
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году расходы по тарифу составили ровно 350 рублей?
Решение
Ровно 350 рублей абонент платил в месяцы, когда не было доплат сверх пакетов. Таких месяцев четыре. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
Известно, что в 2019 году абонентская плата по тарифу «Стандартный» выросла на 75% по сравнению с 2018 годом. Сколько рублей составляла абонентская плата в 2018 году?
Решение
350 руб. — это 175% от платы 2018 года. Значит, плата 2018 года: 350 : 1,75 = 200 руб. Ответ: 200.
Ответ: 200
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 470 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 160 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф не выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент останется на тарифе с платой 350 руб. Ответ: 350.
Ответ: 350
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{10} : \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{10} : \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} = \frac{3}{5}\).
Получили дробь \(\frac{3}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,6\).
Ответ: \(0,6\).
Ответ: 0,6
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что 3 < a < 4.
Проверим варианты ответа:
1) a > 4 ⇔ a > 4 — неверно.
2) 3 - a > 0 ⇔ a < 3 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{7} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{35}$$
Решение
Вычислим выражение: 4√7 · 6√5 · √35.
Перемножим коэффициенты: 4 · 6 = 24.
Подкоренные выражения дают: √7 · √5 · √35 = √(7·5·35) = √(1225) = 35.
Тогда всё выражение равно 24 · 35 = 840.
Ответ: 840.
Ответ: 840
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 5x + 3y = 24 \\ 6x + 3y = 24 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
5x + 3y = 24
6x + 3y = 24
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + 3y = 24) \cdot 6\): 30x + 18y = 144
\((6x + 3y = 24) \cdot 5\): 30x + 15y = 120
Вычтем второе уравнение из первого:
3y = 24
y = 24 / 3 = 8
Подставим y = 8 в первое уравнение:
5x + 3y = 24
Получаем x = 0.
Ответ: (0;8)
Ответ: 0;8
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.6 и 0.4: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.65, по нижнему 0.875.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.6 · 0.65 = 0.39.
Нижний путь: 0.4 · 0.875 = 0.35.
Складываем: 0.39 + 0.35 = 0.74.
Ответ: 0,74
Ответ: 0,74
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a > 0, c > 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 55 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Подставим t_C = 55 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(55) + 32 = 131.
Ответ: 131.
Ответ: 131
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 5x < 17 \\ x − 0,3 \leqslant 3,4 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;3,4). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 540 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 540, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 8-го уже меньше.
Ответ: 8.
Ответ: 8
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 20, BC = 7, sin ∠ABC = 2/5. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 20 · 7 · \(\frac{2}{5}\) = 280/10 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 86°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 86° = 94°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 94° / 2 = 47°.
Ответ: 47.
Ответ: 47
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 127°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 127° = 53°.
Ответ: 53.
Ответ: 53
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.
Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.
2) Неверно.
3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.
Ответ: 13.
Ответ: 13
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(11a-15b+20\), если \(\dfrac{7a-6b+7}{6a-7b+7}=3\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(11a-15b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-6b+7 = 3(6a-7b+7)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-6b+7 = 18a-21b+21\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 11a-15b+14\), откуда \(11a-15b = -14\).
Шаг 4. Вычисляем: \(11a-15b+20 = -14+20 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 72% воды, а высушенные — 26%. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 72% воды, значит сухого вещества 28%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 222 кг свежих фруктов:
222 · 28/100 = 62,16 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 26% воды, значит сухого вещества 74%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,74·x = 62,16.
x = 62,16 / 0,74 = 84 кг.
Ответ: 84.
Правильный ответ: 84
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+0,25,\ x\ne -1 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-1 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-1; 1; 1,25 \).
Ответ: \( -1; 1; 1,25 \).
Правильный ответ: -1; 1; 1,25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 48, NC = 30.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{12}{48}\) = \(\frac{1}{4}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{4}\), то есть BN = 1·BC/4.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 30.
Подставляем: BN = 1·(BN + 30)/4.
4·BN = 1·BN + 1·30.
(4−1)·BN = 30 ⟹ BN = 30/(4−1) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 27, BD = 9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = \(\frac{3}{9}\) = \(\frac{1}{3}\), BD/AD = \(\frac{9}{27}\) = \(\frac{1}{3}\).
BD² = 9² = 81 = 3·27 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25 : 24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 14.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 25 : 24 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 25:24:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{25}{24}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{25}{24}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·24/(25+24) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 14/(2·sin A) = 25.
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.