Загрузка заданий...

Вариант 2107 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 5263.

Ответ: 5263

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Решение

По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.

Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.

В одной упаковке 6 штук, значит понадобится 52 упаковки.

Ответ: 52.

Ответ: 52

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.

Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.

Ответ: 16,17.

Ответ: 16,17

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	930 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:

План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.

План «900»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 930 руб.

Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,03 \cdot 0,4$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,03 \cdot 0,4$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,03) \cdot 0,4 = 0,012$.

Ответ: $0,012$.

Ответ: 0,012

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-9 - a > 0

-9 - a < 0

-a < 8

$\frac{1}{a} > 0$

Решение

По чертежу видно, что -9 < a < -8.

Проверим варианты ответа:

1) -9 - a > 0 ⇔ a < -9 — неверно.

2) -9 - a < 0 ⇔ a > -9 — верно.

3) -a < 8 ⇔ a > -8 — неверно.

4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{5} \cdot \sqrt{50}$$

Решение

Вычислим выражение: 5√10 · 4√5 · √50.

Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.

Подкоренные выражения дают: √10 · √5 · √50 = √(10·5·50) = √(2500) = 50.

Тогда всё выражение равно 20 · 50 = 1000.

Ответ: 1000.

Ответ: 1000

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 3x - 40 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 3x - 40 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 3, c = -40.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 3² - 4·1·-40 = 169.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-3 - √169) / 2 = -8

x₂ = (-3 + √169) / 2 = 5

Ответ: -8;5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,9.

Ответ: 0,9

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k > 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 15, sinα = 0,286, а S = 19,286.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·19,286/(15·0,286) = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

9x - 4 > 5x + 6

(2,5;+∞)

(-∞;-2,5)

(-∞;0)

(-∞;2,5)

Решение

Решим неравенство: 9x - 4 > 5x + 6.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x > 10.

Делим обе части на 4: x > 2,5.

Значит, x больше 2,5.

Этому соответствует промежуток (2,5;+∞).

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,6 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.

После 7-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 8-го прыжка уже меньше.

Ответ: 8.

Ответ: 8

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 41 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение

По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.

x² = 41² - 9² = 1681 - 81 = 1600.

Значит, x = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 48°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 48° = 42°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 42°.

Ответ: 42.

Ответ: 42

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 80°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 65° + 80° = 145°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 145° = 35°.

Ответ: 35.

Ответ: 35

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

Ответ: 13

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $28a-4b+28$, если $\dfrac{2a-6b+4}{6a-2b+4}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $28a-4b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-6b+4 = 5(6a-2b+4)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-6b+4 = 30a-10b+20$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 28a-4b+16$, откуда $28a-4b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $28a-4b+28 = -16+28 = 12$.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты, смеси и сплавы

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.

Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.

Шаг 2. При полном смешивании 60 кг получается раствор с концентрацией 33%:

40·x + 20·y = 60·0,33 = 19,8 ...(1).

Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 47%:

(x + y)/2 = 0,47 ⟹ x + y = 0,94 ...(2).

Шаг 4. Из (2): y = 0,94 − x. Подставляем в (1):

40·x + 20·(0,94 − x) = 19,8

40x + 18,8 − 20x = 19,8

20x = 1 ⟹ x = 0,05.

Шаг 5. Масса кислоты в 1-м сосуде: 40·0,05 = 2 кг.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| - 5\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x - 5.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x - 5.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -5.

Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: -5.

Правильный ответ: -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.

Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).

Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).

BH = PK = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{9}{18}$ = $\frac{1}{2}$, BD/AD = $\frac{18}{36}$ = $\frac{1}{2}$.

BD² = 18² = 324 = 9·36 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 129° − 90° = 39°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 96° − 90° = 6°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 39° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 6° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 6° = 84°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 84° − 39° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 8 / sin(45°) = 8√2.

Ответ: 8√2.

Правильный ответ: 8√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.