Загрузка заданий...

Вариант 2119 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

Ответ: 56

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

Ответ: 40

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

Ответ: 200

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

Ответ: 1170

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{7} : \frac{2}{7}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{7} : \frac{2}{7}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{7}) : \frac{2}{7} = \frac{3}{2}$.

Получили дробь $\frac{3}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,5$.

Ответ: $1,5$.

Ответ: 1,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

9 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -8

-a < -8

Решение

По чертежу видно, что 8 < a < 9.

Проверим варианты ответа:

1) 9 - a < 0 ⇔ a > 9 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) -a > -8 ⇔ a < 8 — неверно.

4) -a < -8 ⇔ a > 8 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{18} + \sqrt{18})\sqrt{2}$$

Решение

Вычислим выражение: (√18 + √18)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √18 = 3√2, √18 = 3√2.

Тогда получаем (3√2 + 3√2)·√2 = 6√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 6·2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 14x + 45 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 14x + 45 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 14, c = 45.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 14² - 4·1·45 = 16.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-14 - √16) / 2 = -9

x₂ = (-14 + √16) / 2 = -5

Ответ: -9;-5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 20 билетов, Олег не выучил 17 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 3 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{3}{20}$ = 0,15.

Ответ: 0,15.

Ответ: 0,15

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = -2x - 3$

2) $y = -\dfrac{1}{2}x - 3$

3) $y = -3x + 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 12 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·12² / 2 = 0,0072.

Ответ: 0,0072.

Ответ: 0,0072

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

6x - 5 < 5x - 8

(0;+∞)

(-∞;-3)

(-∞;3)

(-3;+∞)

Решение

Решим неравенство: 6x - 5 < 5x - 8.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 1x < -3.

Делим обе части на 1: x < -3.

Значит, x меньше -3.

Этому соответствует промежуток (-∞;-3).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 10 см = 0,1 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 50. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{14}{50}$ = 0,28.

Ответ: 0,28.

Ответ: 0,28

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 28√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 28√2 · √2 = 56.

Ответ: 56.

Ответ: 56

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 3 и 19. Найдите длину основания BC.

Решение

В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.

Следовательно, BC = 19 - 3 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 6, высота равна 4.

S = (4 + 6) / 2 · 4 = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.

2) Неверно.

3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-x=y,\\2x-1=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-x=2x-1$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-3x+1=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-1)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{1}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{1}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{1}{2}-1=0$.

При $x=1$: $y=2-1=1$.

Ответ: $\left(\dfrac{1}{2};\,0\right);\ (1;\,1)$.

Правильный ответ: (1/2;0);(1;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 160/80 = 2 ч,

t₂ = 100/50 = 2 ч,

t₃ = 360/90 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 160 + 100 + 360 = 620 км.

Шаг 3. Общее время: 2 + 2 + 4 = 8 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 620 / 8 = 77,5 км/ч.

Ответ: 77,5.

Правильный ответ: 77,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1/9 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=-1/9 $, откуда $ k=81 $.

Ответ: 81.

Правильный ответ: 81

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(13² − 12²) = √(25) = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 6.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 6.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 6 + 6 = 12.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 11 · 12 = 132.

Ответ: 132.

Правильный ответ: 132

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.