Загрузка заданий...

Вариант 2123 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	кухня
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 3, кладовая — 4, спальня — 5, кухня — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, кухня.

Следовательно, ответ: 3458.

Ответ: 3458

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 80 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в гостиной?

Решение

По плану площадь покрытия гостиной составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 154 · 0,16 = 24,64 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,8 = 0,16 кв. м.

Нужно элементов: 24,64 / 0,16 = 154.

В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 16 упаковок.

Ответ: 16.

Ответ: 16

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь санузла. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Ответ: 5,76.

Ответ: 5,76

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кладовой?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 24) / 24) · 100% = 500%.

Ответ: 500.

Ответ: 500

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с вертикальной загрузкой, не превосходящую 85 см по высоте.

Решение

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель А: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель К: 27 000 + 1 800 + доставка бесплатная = 28 800 руб.

Наименьшая стоимость у модели К: 28 800 руб.

Ответ: 28 800.

Ответ: 28800

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{4} : \frac{1}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{4} : \frac{1}{6}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{4}) : \frac{1}{6} = \frac{21}{2}$.

Получили дробь $\frac{21}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $10,5$.

Ответ: $10,5$.

Ответ: 10,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $-\frac{5}{2}$ и $\frac{3}{1}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4,88

4,1

-4,25

0,75

Решение

Сравним числа $-\frac{5}{2}$ и $\frac{3}{1}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (0,75) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^3)^2 = 4^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^6 = 4^4.

Получаем 4^4 = 256.

Ответ: 256.

Ответ: 256

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 2 + 2(-4x + 7) = 10x + 52

Решение

Решим уравнение: 2 + 2(-4x + 7) = 10x + 52

Раскроем скобки:

2 + 2(-4x + 7) = 10x + 52

2 - 8x + 14 = 10x + 52

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-8x + 16 = 10x + 52

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-18x = 36

Разделим обе части на -18:

x = 36 / -18

x = -2

Ответ: -2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 149 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 51 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 51/200 = 0,255.

Ответ: 0,255.

Ответ: 0,255

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 4 с^-1, а центростремительное ускорение равно 8,64 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 8,64/(4²) = 0,54.

Ответ: 0,54.

Ответ: 0,54

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

10x - x² ≥ 0

Решение

Разложим: 10x - x² = x(10 - x). Нули: 0 и 10. Верное решение: [0;10]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 32 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 32 минут пройдёт 4 промежутков по 8 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^4 = 12,5 мг.

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 10, AC = 7. Найдите tg B.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Для угла B противолежащий катет — AC, прилежащий — BC.

tg B = AC / BC = $\frac{7}{10}$ = 0,7.

Ответ: 0,7.

Ответ: 0,7

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.

R = 14√3 · √3 / 3 = $\frac{42}{3}$ = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 8 - 4 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 8.

Средняя линия равна 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}6x^2+y=14,\\12x^2-y=4.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4\Rightarrow 18x^2=18$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=14-6x^2=14-6=8$.

Ответ: $(-1;\,8);\ (1;\,8)$.

Правильный ответ: (-1;8);(1;8)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:

600/x − 600/(x+20) = 1.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):

600·(x+20) − 600·x = 1·x·(x+20).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 600·20 = 12000. Получаем:

1x² + 20x − 12000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 20² + 4·1·12000 = 48400, √D = 220.

x = (−20 + 220) / (2·1) = 100 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 100 + 20 = 120 км/ч.

Ответ: 120.

Правильный ответ: 120

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 16, AC = 40, NC = 24.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{16}{40}$ = $\frac{2}{5}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{2}{5}$, то есть BN = 2·BC/5.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 24.

Подставляем: BN = 2·(BN + 24)/5.

5·BN = 2·BN + 2·24.

(5−2)·BN = 48 ⟹ BN = 48/(5−2) = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 32 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 14.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.

Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.

CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).

Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:

AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 14² = 196, AD·BC = 32·4 = 128.

Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:

R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.

Вычисление: R = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.