Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.
Ответ: 185
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?
Решение
В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.
Ответ: 115.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.
Ответ: 9.1
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.
Ответ: 591
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{5} - 0,075$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{5} - 0,075\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{5}) - 0,075 = 0,325\).
Получили результат \(0,325\).
Ответ: \(0,325\).
Ответ: 0,325
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
a + 7 > 0
2
a + 7 < 0
3
\(\frac{1}{a} > 0\)
4
a > -6
Решение
По чертежу видно, что -7 < a < -6.
Проверим варианты ответа:
1) a + 7 > 0 ⇔ a > -7 — верно.
2) a + 7 < 0 ⇔ a < -7 — неверно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) a > -6 ⇔ a > -6 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{11})^2$$
Решение
Вычислим выражение: (7√11)².
Используем свойство степени произведения: (7√11)² = 7² · (√11)².
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на 5.
Получим:
\((5x + 5y = 0) \cdot 6\): 30x + 30y = 0
\((6x - 2y = 24) \cdot 5\): 30x - 10y = 120
Вычтем второе уравнение из первого:
40y = -120
y = -120 / 40 = -3
Подставим y = -3 в первое уравнение:
5x + 5y = 0
Получаем x = 3.
Ответ: (3;-3)
Ответ: 3;-3
10Статистика, вероятности1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,8.
Ответ: 0,8
Ответ: 0,8
11Графики функций1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.
Ответ: 231
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2 = 14, sinα = 0,091, а S = 8,909.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).
d₁ = 2·8,909/(14·0,091) = 14.
Ответ: 14.
Ответ: 14
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} x + 2,8 \geqslant 4,1 \\ x + 0,5 < 6,5 \end{cases}$$
1
[1,3;6)
2
(-∞;1,3) ∪ (6;+∞)
3
(6;+∞)
4
(-∞;1,3)
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [1,3;6). Это вариант 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 18 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 29 мест, а в девятом ряду 44 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (44 - 29) / (9 - 4) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 29 - 3·3 = 20.
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\) сводит уравнение к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{x^2}=t^2\), \(\frac{1}{x}=t\):
\(t^2-3t-4=0\).
Шаг 2. Разложим на множители: \((t-4)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=4\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=\frac{1}{t}\):
Если \(t=4\): \(x=\dfrac{1}{4}\).
Если \(t=-1\): \(x=-1\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-1;\quad \dfrac{1}{4}\).
Правильный ответ: -1;1/4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты, смеси и сплавы
Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в втором растворе?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить систему уравнений на концентрации двух растворов.
Шаг 1. Пусть концентрация кислоты в 1-м сосуде — x, во 2-м — y.
Шаг 2. При полном смешивании 20 кг получается раствор с концентрацией 65%:
12·x + 8·y = 20·0,65 = 13 ...(1).
Шаг 3. При смешивании равных масс концентрация 60%:
(x + y)/2 = 0,60 ⟹ x + y = 1,20 ...(2).
Шаг 4. Из (2): y = 1,20 − x. Подставляем в (1):
12·x + 8·(1,20 − x) = 13
12x + 9,6 − 8x = 13
4x = 3,4 ⟹ x = 0,85.
y = 1,20 − 0,85 = 0,35.
Шаг 5. Масса кислоты во 2-м сосуде: 8·0,35 = 2,8 кг.
Ответ: 2,8.
Правильный ответ: 2,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x-3,& x\ge -2,\\-x-7,& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (-5;-3)∪{-2}.
Ответ: (-5;-3)∪{-2}.
Правильный ответ: (-5;-3)∪{-2}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 10, AC = 40, NC = 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{1}{4}\), то есть BN = 1·BC/4.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 24.
Подставляем: BN = 1·(BN + 24)/4.
4·BN = 1·BN + 1·24.
(4−1)·BN = 24 ⟹ BN = 24/(4−1) = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
