Загрузка заданий...

Вариант 2194 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,3 + \frac{1}{25} : 5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,3 + \frac{1}{25} : 5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{25}) : 5 = 0,008$.

Шаг 2: $(0,3) + 0,008 = 0,308$.

Получили результат $0,308$.

Ответ: $0,308$.

Ответ: 0,308

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a > 7

-a < -8

a - 7 < 0

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a > 7 ⇔ a > 7 — верно.

3) -a < -8 ⇔ a > 8 — неверно.

4) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (4√6)².

Используем свойство степени произведения: (4√6)² = 4² · (√6)².

Получаем 16 · 6 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 6x - 7 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 6x - 7 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -6, c = -7.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -6² - 4·1·-7 = 64.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (6 - √64) / 2 = -1

x₂ = (6 + √64) / 2 = 7

Ответ: -1;7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 32 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 93 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 93/125 = 0,744.

Ответ: 0,744.

Ответ: 0,744

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = 2x - 4$

Б) $y = x^2 - 4$

В) $y = \sqrt{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 7,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 28,125 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 28,125/(7,5²) = 0,5.

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

7x + 6 < 2x - 8

(0;+∞)

(-∞;-2,8)

(-2,8;+∞)

(-0,4;+∞)

Решение

Решим неравенство: 7x + 6 < 2x - 8.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x < -14.

Делим обе части на 5: x < -2,8.

Значит, x меньше -2,8.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2,8).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 14 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 14, d = 10, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·14 + 4·10)/2 = 170.

Ответ: 170.

Ответ: 170

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 12, sin ∠ABC = 1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:

S = $\frac{1}{2}$ · AB · BC · sin∠ABC.

S = $\frac{1}{2}$ · 6 · 12 · $\frac{1}{4}$ = $\frac{72}{8}$ = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 8 · 0,75 = 6.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 8 · 6 / 2 = 24.

Сторона ромба a = √(($\frac{8}{2}$)² + ($\frac{6}{2}$)²) = 5.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 24 / (2·5) = 2,4.

Ответ: 2,4.

Ответ: 2,4

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 50° + 85° = 135°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 135° = 45°.

Ответ: 45.

Ответ: 45

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 4 и 6.

S = 4 · 6 / 2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $2a-8b+20$, если $\dfrac{6a-4b+9}{4a-6b+9}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $2a-8b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-4b+9 = 2(4a-6b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-4b+9 = 8a-12b+18$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 2a-8b+9$, откуда $2a-8b = -9$.

Шаг 4. Вычисляем: $2a-8b+20 = -9+20 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 36 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 54 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:

36 + 4 = 40 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 40 × 1000 / 3600 = 100/9 м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 54 с, значит его длина:

100/9 × 54 = 600 м.

Ответ: 600.

Правильный ответ: 600

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 3\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 3.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 3.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 3.

Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.

Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.

∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).

По двум углам: △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.

По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.

KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 6 / 1,5 = 4.

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 160 ⟹ a+b = 80.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1280/80 = 32.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=80 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=32:

a = 16, b = 64.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 32·$\frac{16}{80}$ = 6,4.

Ответ: 6,4.

Правильный ответ: 6,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.