Загрузка заданий...
Вариант 2226 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/60 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.
Ответ: 205
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/55 R15?
Решение
В маркировке 205/55 R15 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 205 · 55 / 100 = 112.75 мм. Ответ: 112.75.
Ответ: 112.75
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и нового колеса 195/55 R15. Ответ: 17.9.
Ответ: 17.9
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/60 R14 получаем диаметр 577.6 мм. Ответ: 577.6.
Ответ: 577.6
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/50 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/60 R14 и колеса 205/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 5.9.
Ответ: 5.9
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{2}{7} : \frac{5}{12} + \frac{5}{7}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{2}{7} : \frac{5}{12} + \frac{5}{7}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{7}) : \frac{5}{12} = \frac{24}{35}\).
Шаг 2: \((\frac{24}{35}) + \frac{5}{7} = \frac{7}{5}\).
Получили дробь \(\frac{7}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,4\).
Ответ: \(1,4\).
Ответ: 1,4
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -1 и 0.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -1 ≈ -1
2) \(\frac{-1}{3}\) ≈ -0,3333
3) 1,477 ≈ 1,477
4) \(\sqrt{17}\) ≈ 4,1231
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{20}$$
Решение
Вычислим выражение: 3√10 · 2√2 · √20.
Перемножим коэффициенты: 3 · 2 = 6.
Подкоренные выражения дают: √10 · √2 · √20 = √(10·2·20) = √(400) = 20.
Тогда всё выражение равно 6 · 20 = 120.
Ответ: 120.
Ответ: 120
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 + 18x + 81 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 18x + 81 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -18 / 2 = -9
Ответ: -9
Ответ: -9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cup B\).
Решение
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,6.
Ответ: 0,6
Ответ: 0,6
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.
Ответ: 321
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 12 колец.
Решение
Подставим n = 12 в формулу C = 6500 + 4000n.
C = 6500 + 4000·12 = 54500.
Ответ: 54 500.
Ответ: 54 500
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 2)(x - 1) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -2 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 1) <= 0 получаем решение [-2;1]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 13, AB = 20. Найдите sin B.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{13}{20}\) = 0,65.
Ответ: 0,65.
Ответ: 0,65
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 148°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 148° = 32°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 32° / 2 = 16°.
Ответ: 16.
Ответ: 16
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 69°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 30°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол A трапеции равен 180° - 69° = 111°.
Диагональ делит угол A на два: 30° и искомый.
Искомый угол равен 111° - 30° = 81°.
Ответ: 81.
Ответ: 81
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 10.
Средняя линия равна 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
Ответ: 5
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Верно.
2) Верно.
3) Неверно.
Ответ: 12.
Ответ: 12
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-3)^2<\sqrt{5}(x-3)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-3)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-3)^2-\sqrt{5}(x-3)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-3)\bigl[(x-3)-\sqrt{5}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=3\) и \(x=3+\sqrt{5}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((3;\; 3+\sqrt{5})\).
Правильный ответ: (3;3+√5)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 112/x ч, первым — 112/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
112/x − 112/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
112·(x+9) − 112·x = 4·x·(x+9).
1008 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.
x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 112/12 = \(\frac{28}{3}\) ч, первый — 112/21 = \(\frac{16}{3}\) ч.
\(\frac{28}{3}\) − \(\frac{16}{3}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{2x+5}{2x^2+5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5/2 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-5/2 \), откуда \( k=4/25 \).
Ответ: \(\frac{4}{25}\).
Правильный ответ: 4/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 1, AC = 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.
Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).
Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).
AB² + r² = AO² = (AC − r)².
1² + r² = (5 − r)².
1 + r² = 25 − 10r + r².
10r = 25 − 1 = 24.
r = \(\frac{24}{10}\) = 2.4.
Шаг 3. D = 2r = \(\frac{24}{5}\) = 4,8.
Ответ: 4,8.
Правильный ответ: 4,8
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 10, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 6 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 8, AB = 6, CD = 10, BC = 1.
Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 6 = 7.
S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 7)/2 · 8 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.