Загрузка заданий...

Вариант 2268 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Саша летом отдыхает у дедушки в деревне Масловка. В субботу они собираются съездить на велосипедах в село Захарово в магазин. Из деревни Масловка в село Захарово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Вёсенка до деревни Полянка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Захарово. Есть и третий маршрут: в деревню Вёсенка можно свернуть на прямую тропинку в село Захарово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Саша с дедушкой едут со скоростью 20 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 15 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Полянка	Захарово	Вёсенка
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Масловка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Вёсенка, место поворота на другое шоссе — Полянка, конечный пункт — Захарово.

Получаем соответствие: Масловка — 1, Вёсенка — 2, Полянка — 4, Захарово — 3.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Полянка, Захарово, Вёсенка.

Следовательно, ответ: 432.

Ответ: 432

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Саша с дедушкой от деревни Масловка до села Захарово, если они поедут по шоссе через деревню Полянка?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Масловка до Полянка и от Полянка до Захарово.

От Масловка до Полянка: 16 клеток · 1 км = 16 км.

От Полянка до Захарово: 12 клеток · 1 км = 12 км.

Складываем: 16 + 12 = 28 км.

Ответ: 28.

Ответ: 28

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Масловка до села Захарово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 12 км и 16 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 20 км.

Ответ: 20.

Ответ: 20

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Масловка в село Захарово Саша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

По прямой расстояние равно 20 км.

Скорость по лесной дорожке — 15 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 20 / 15 ч.

В минутах это 80 мин.

Ответ: 80.

Ответ: 80

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Масловка	Захарово	Вёсенка	Полянка
Молоко (1 л)	43	49	50	45
Хлеб (1 батон)	27	41	31	26
Сыр «Российский» (1 кг)	272	279	269	277
Говядина (1 кг)	354	343	339	336
Картофель (1 кг)	26	18	19	32

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Масловка, селе Захарово, деревне Вёсенка и деревне Полянка. Саша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Масловка: 2·43=86 + 3·27=81 + 2·354=708 + 4·26=104 + 1·272=272 = 1 251

Захарово: 2·49=98 + 3·41=123 + 2·343=686 + 4·18=72 + 1·279=279 = 1 258

Вёсенка: 2·50=100 + 3·31=93 + 2·339=678 + 4·19=76 + 1·269=269 = 1 216

Полянка: 2·45=90 + 3·26=78 + 2·336=672 + 4·32=128 + 1·277=277 = 1 245

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Вёсенка": 1 216 руб.

Ответ: 1 216.

Ответ: 1216

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 : 2,5 \cdot \frac{9}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,2 : 2,5 \cdot \frac{9}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) : 2,5 = 0,08$.

Шаг 2: $(0,08) \cdot \frac{9}{10} = 0,072$.

Получили результат $0,072$.

Ответ: $0,072$.

Ответ: 0,072

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $-\frac{201}{100}$ и 0,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.

3,25

$\frac{116}{25}$

$\frac{33}{8}$

-0,8

Решение

Сравним числа $-\frac{201}{100}$ и 0,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 (-0,8) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$$

Решение

Вычислим выражение: (√2 - 1)(√2 + 1).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√2)² - 1² = 2 - 1 = 1.

Ответ: 1.

Ответ: 1

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5x + 14 = 29

Решение

Решим уравнение: 5x + 14 = 29

Перенесём 14 в правую часть:

5x = 29 - 14

5x = 15

Разделим обе части на 5:

x = 15 / 5

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 25 машин: 10 чёрных, 9 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{9}{25}$ = 0,36.

Ответ: 0,36.

Ответ: 0,36

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 2x - 4$

2) $y = 3x - 2$

3) $y = -x + 3$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 171,5 Вт, а сила тока равна 3,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 171,5/(3,5²) = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

4x - x² < 0

Решение

Разложим: 4x - x² = x(4 - x). Нули: 0 и 4. Верное решение: (-∞;0) ∪ (4;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 4-го уже меньше.

Ответ: 4.

Ответ: 4

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 4/15, AB = 45. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 45 · $\frac{4}{15}$ = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 19.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 19 = 38.

S = a² = 38² = 1444.

Ответ: 1444.

Ответ: 1444

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 48°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Решение

Угол A равен 180° - 48° = 132°.

Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 132° / 2 = 66°.

В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 66° - 48° = 66°.

Ответ: 66.

Ответ: 66

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 4.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Всегда один из двух смежных углов острый, а другой тупой.

Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.

Все хорды одной окружности равны между собой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: смежные углы могут быть оба по 90°.

2) Верно: площадь квадрата равна произведению двух смежных сторон.

3) Неверно: хорды одной окружности вообще говоря имеют разные длины.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $29a-37b+67$, если $\dfrac{6a-5b+9}{5a-6b+9}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $29a-37b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-5b+9 = 7(5a-6b+9)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-5b+9 = 35a-42b+63$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 29a-37b+54$, откуда $29a-37b = -54$.

Шаг 4. Вычисляем: $29a-37b+67 = -54+67 = 13$.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 500/100 = 5 ч,

t₂ = 100/50 = 2 ч,

t₃ = 165/55 = 3 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 500 + 100 + 165 = 765 км.

Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 765 / 10 = 76,5 км/ч.

Ответ: 76,5.

Правильный ответ: 76,5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 7\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 7.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 7.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 7.

Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 12² + (AB/2)² = 12² + 9² = 225. R = 15.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 9 от центра:

(CD/2)² = R² − 9² = 225 − 81 = 144.

CD/2 = 12.

Шаг 3. CD = 2 · 12 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 180 ⟹ a+b = 90.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·1620/90 = 36.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=90 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=36:

a = 18, b = 72.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 36·$\frac{18}{90}$ = 7,2.

Ответ: 7,2.

Правильный ответ: 7,2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.