Загрузка заданий...

Вариант 2274 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

Ответ: 2143

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

Ответ: 0.7

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

Ответ: 21

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{4} - 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{4} - 0,2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{4}) - 0,2 = 0,55$.

Получили результат $0,55$.

Ответ: $0,55$.

Ответ: 0,55

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

5 - a > 0

a - 4 < 0

a > 5

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) 5 - a > 0 ⇔ a < 5 — верно.

3) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — неверно.

4) a > 5 ⇔ a > 5 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{11} \cdot \sqrt{110}$$

Решение

Вычислим выражение: 2√10 · 3√11 · √110.

Перемножим коэффициенты: 2 · 3 = 6.

Подкоренные выражения дают: √10 · √11 · √110 = √(10·11·110) = √(12100) = 110.

Тогда всё выражение равно 6 · 110 = 660.

Ответ: 660.

Ответ: 660

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x + 5y = -41 \\ -3x - 4y = 10 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-x + 5y = -41

-3x - 4y = 10

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на -1.

Получим:

$(-x + 5y = -41) \cdot -3$: 3x - 15y = 123

$(-3x - 4y = 10) \cdot -1$: 3x + 4y = -10

Вычтем второе уравнение из первого:

-19y = 133

y = 133 / -19 = -7

Подставим y = -7 в первое уравнение:

-x + 5y = -41

Получаем x = 6.

Ответ: (6;-7)

Ответ: 6;-7

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события A.

Решение

Всего элементарных исходов: 6. Благоприятных для события A: 3.

$P=3/6=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a < 0, c > 0

2) a > 0, c < 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,05 = 490.

Ответ: 490.

Ответ: 490

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 36 < 0

[-6;6]

(-6;6)

(-∞;-6] ∪ [6;+∞)

(-∞;-6) ∪ (6;+∞)

Решение

Решаем x² - 36 < 0. Нули: x = -6 и x = 6. Верное решение: (-6;6). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые четыре секунд?

Решение

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 9, d = 10, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·9 + 3·10)/2 = 96.

Ответ: 96.

Ответ: 96

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 10 = $\frac{40}{2}$ = 20.

Ответ: 20.

Ответ: 20

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 108° = 72°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36.

Ответ: 36

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 104°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 104° = 76°.

Ответ: 76.

Ответ: 76

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 2 и 8.

m = (2 + 8) / 2 = 5.

Ответ: 5.

Ответ: 5

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

Диагонали ромба равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: у тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника.

2) Верно: сумма углов любого треугольника равна 180°.

3) Неверно: у ромба диагонали не обязаны быть равными.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-8)^2<\sqrt{3}(x-8)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-8)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-8)^2-\sqrt{3}(x-8)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-8)\bigl[(x-8)-\sqrt{3}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=8$ и $x=8+\sqrt{3}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(8;\; 8+\sqrt{3})$.

Правильный ответ: (8;8+√3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 48 км.

Время плота в пути: 48 / 3 = 16 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

16 − 1 = 15 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

108/(x+3) + 108/(x−3) = 15.

Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 15.

Шаг 7. Проверка: 6 + 9 = 15. ✓

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+5,& x\ge 1,\\x+3,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {1}∪(2;4).

Ответ: {1}∪(2;4).

Правильный ответ: {1}∪(2;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 8, AC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

8² + r² = (10 − r)².

64 + r² = 100 − 20r + r².

20r = 100 − 64 = 36.

r = $\frac{36}{20}$ = 1.8.

Шаг 3. D = 2r = $\frac{36}{10}$ = 3,6.

Ответ: 3,6.

Правильный ответ: 3,6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 13 : 12 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 13:12:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{13}{12}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{13}{12}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·12/(13+12) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 10/(2·sin A) = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.