Загрузка заданий...

Вариант 2280 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 16 клеток · 4 км = 64 км.

От Жуки до Кленовое: 12 клеток · 4 км = 48 км.

Складываем: 64 + 48 = 112 км.

Ответ: 112.

Ответ: 112

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 48 км и 64 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 80 км.

Ответ: 80.

Ответ: 80

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

По прямой расстояние равно 80 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 80 / 40 ч.

В минутах это 120 мин.

Ответ: 120.

Ответ: 120

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

Ответ: 1073

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{3}{10}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$.

Получили дробь $\frac{1}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,2$.

Ответ: $0,2$.

Ответ: 0,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a > -8

a + 8 < 0

-9 - a > 0

Решение

По чертежу видно, что -9 < a < -8.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) a > -8 ⇔ a > -8 — неверно.

3) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — верно.

4) -9 - a > 0 ⇔ a < -9 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$10^{-3} \cdot (10^2)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 10^(-3) · (10^2)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (10^2)^2 = 10^4.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 10^-3 · 10^4 = 10^1.

Получаем 10^1 = 10.

Ответ: 10.

Ответ: 10

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 10x + 24 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² - 10x + 24 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 24.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -10² - 4·1·24 = 4.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (10 - √4) / 2 = 4

x₂ = (10 + √4) / 2 = 6

Ответ: 4;6

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 40 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 35 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{35}{40}$ = 0,875.

Ответ: 0,875.

Ответ: 0,875

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -\dfrac{1}{2}x - 2$

Б) $y = -3x - 4$

В) $y = 2x - 2$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 113 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Подставим t_F = 113 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(113 − 32)/9 = 45.

Ответ: 45.

Ответ: 45

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

9x + 7 ≥ 7x + 12

[-2,5;+∞)

[0;+∞)

(-∞;0]

[2,5;+∞)

Решение

Решим неравенство: 9x + 7 >= 7x + 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 2x >= 5.

Делим обе части на 2: x >= 2,5.

Значит, x больше или равно 2,5.

Этому соответствует промежуток [2,5;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 45 минут пройдёт 5 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 200·($\frac{1}{2}$)^5 = 6,25 мг.

Ответ: 6,25.

Ответ: 6,25

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 18 · 27 = 486/2 = 243.

Ответ: 243.

Ответ: 243

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 7.

Решение

Если квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 7 = 14.

S = a² = 14² = 196.

Ответ: 196.

Ответ: 196

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.

Решение

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.

Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.

Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 8 · 0,25 = 2.

S = AC · BD / 2 = 8 · 2 / 2 = 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 8.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x-2}$ — сводим к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{(x-2)^2}=t^2$. Уравнение:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена. Из $\frac{1}{x-2}=t$ получаем $x=2+\frac{1}{t}$.

Если $t=3$: $x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

Если $t=-2$: $x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne2$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}$.

Правильный ответ: 3/2;7/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 112/x ч, первым — 112/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

112/x − 112/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

112·(x+9) − 112·x = 4·x·(x+9).

1008 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1008 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.

x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 112/12 = $\frac{28}{3}$ ч, первый — 112/21 = $\frac{16}{3}$ ч.

$\frac{28}{3}$ − $\frac{16}{3}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| - 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x - 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x - 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -1.

Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -1.

Правильный ответ: -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 6, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 2 раза меньше AB, то есть AB = 2·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 2 = 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Правильный ответ: 3

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 16 + 2... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 30, AB = 16, CD = 34, BC = 2.

Шаг 3. AD = BC + AB = 2 + 16 = 18.

S = (BC + AD)/2 · h = (2 + 18)/2 · 30 = 272.

Ответ: 272.

Правильный ответ: 272

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.