Загрузка заданий...

Вариант 2286 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 04.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.

Ответ: 215

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/50 R17?

Решение

В маркировке 275/50 R17 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 275 · 50 / 100 = 137.5 мм. Ответ: 137.5.

Ответ: 137.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/45 R18?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и нового колеса 215/45 R18. Ответ: 1.7.

Ответ: 1.7

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/60 R16 получаем диаметр 652.4 мм. Ответ: 652.4.

Ответ: 652.4

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/60 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и колеса 215/60 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.

Ответ: 1.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{4}{5} : \frac{1}{2} + 7,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{4}{5} : \frac{1}{2} + 7,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{4}{5}) : \frac{1}{2} = 1,6$.

Шаг 2: $(1,6) + 7,5 = 9,1$.

Получили результат $9,1$.

Ответ: $9,1$.

Ответ: 9,1

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -1,138, $\frac{2}{3}$, $\frac{\sqrt{21}}{2}$, $\sqrt{24}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,138

$\frac{2}{3}$

$\frac{\sqrt{21}}{2}$

$\sqrt{24}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -2 и -1.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -1,138 ≈ -1,138

2) $\frac{2}{3}$ ≈ 0,6667

3) $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ≈ 2,2913

4) $\sqrt{24}$ ≈ 4,899

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{125} + \sqrt{45})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√125 + √45)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √125 = 5√5, √45 = 3√5.

Тогда получаем (5√5 + 3√5)·√5 = 8√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 8·5 = 40.

Ответ: 40.

Ответ: 40

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{8}{x + 7} = 2$$

Решение

Решим уравнение: 8/(x + 7) = 2

Область допустимых значений: x != -7.

Умножим обе части уравнения на x + 7:

8 = 2(x + 7)

Раскроем скобки:

8 = 2x + 14

Перенесём число в левую часть:

-6 = 2x

x = -6 / 2

x = -3

Проверка ОДЗ: x = -3, x != -7, условие выполняется.

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 2 чёрных, 25 жёлтых и 13 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 25 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{25}{40}$ = 0,625.

Ответ: 0,625.

Ответ: 0,625

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a > 0, c > 0

3) a < 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 40,5 Вт, а сила тока равна 4,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 40,5/(4,5²) = 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

5x > x - 12

(-∞;0)

(-∞;3)

(3;+∞)

(-3;+∞)

Решение

Решим неравенство: 5x > x - 12.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 4x > -12.

Делим обе части на 4: x > -3.

Значит, x больше -3.

Этому соответствует промежуток (-3;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,2 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 56° и BM = AM = MC.

Решение

Из условия BM = AM = MC.

Тогда треугольник BMC равнобедренный, так как BM = MC.

Поэтому ∠MBC = ∠BCM = 56°.

Следовательно, ∠BMC = 180° - 2·56° = 68°.

Точки A, M, C лежат на одной прямой, поэтому ∠AMB = 180° - 68° = 112°.

В треугольнике ABM стороны AM и BM равны, значит углы при основании равны.

Пусть ∠A = x. Тогда 2x + 112° = 180°.

Отсюда x = 90° - 56° = 34°.

Ответ: 34.

Ответ: 34

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 16√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Сторона квадрата равна диаметру окружности.

a = 2r = 2 · 16√2 = 32√2.

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 32√2 · √2 = 64.

Ответ: 64.

Ответ: 64

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 45° + 40° = 85°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 85° = 95°.

Ответ: 95.

Ответ: 95

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=6: t=(8−6)/(8−2)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2, x_B=4+$\frac{2}{3}$·3=6. AB=6−2=4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+3t-10=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+5)(t-2)=0$.

Корни: $t_1=-5$, $t_2=2$.

Шаг 3. Обратная замена $x=1+\frac{1}{t}$:

Если $t=-5$: $x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}$.

Если $t=2$: $x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}$.

Правильный ответ: 4/5;3/2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 120 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.

Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.

Шаг 2. Первый сделал остановку 36 мин = $\frac{3}{5}$ ч, поэтому его время движения: t − $\frac{3}{5}$.

Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:

10·(t − $\frac{3}{5}$) + 20·t = 120.

Шаг 4. Раскрываем: (10 + 20)·t = 120 + 10·$\frac{3}{5}$ = 126.

t = 126 / 30 = $\frac{21}{5}$ ч.

Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:

20 · $\frac{21}{5}$ = 84 км.

Ответ: 84.

Правильный ответ: 84

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -6.

Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -6.

Правильный ответ: -6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 15 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(15² − 12²) = √(81) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.

Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M. AD = 9, MD = 3, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: полуокружность на BC как диаметре даёт прямой угол; ортоцентр связан с высотой.

Шаг 1. M лежит на полуокружности с диаметром BC → ∠BMC = 90°.

Значит DM ⊥ BC (M на высоте AD, и ∠BMC = 90° означает MD ⊥ BC — то есть M ∈ высоте).

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABD: DM — высота из D на гипотенузу AB?

Свойство ортоцентра: AH · AD = AM² (отношение в прямоугольном треугольнике).

Шаг 3. AM = AD − MD = 9 − 3 = 6.

AM² = 36.

AH = AM² / AD = 36 / 9 = ... (проверяем формулой AH = AD − MD²/AD).

Шаг 4. AH = AD − MD²/AD = 9 − $\frac{9}{9}$ = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.