Загрузка заданий...

Вариант 2308 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

Ответ: 2143

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

Ответ: 4

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

Ответ: 840

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

Ответ: 0.7

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

Ответ: 21

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,225 + 0,625 - 0,025$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,225 + 0,625 - 0,025$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,225) + 0,625 = 0,85$.

Шаг 2: $(0,85) - 0,025 = 0,825$.

Ответ: $0,825$.

Ответ: 0,825

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a > -6

$\frac{1}{a} > 0$

-a > 7

Решение

По чертежу видно, что -7 < a < -6.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

2) a > -6 ⇔ a > -6 — неверно.

3) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

4) -a > 7 ⇔ a < -7 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√7 - 5)(√7 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√7)² - 5² = 7 - 25 = -18.

Ответ: -18.

Ответ: -18

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 7x + 16 = 37

Решение

Решим уравнение: 7x + 16 = 37

Перенесём 16 в правую часть:

7x = 37 - 16

7x = 21

Разделим обе части на 7:

x = 21 / 7

x = 3

Ответ: 3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 34 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 166 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 166/200 = 0,83.

Ответ: 0,83.

Ответ: 0,83

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 4)(x - 1) < 0

Решение

Нули выражения: x = -4 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 1) < 0 получаем решение (-4;1). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.

После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Биссектриса равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 13√3.

Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 7, BC = 10, CD = 21. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 7 + 21 - 10 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Основания трапеции равны 8 и 10, а высота равна 8. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

m = (8 + 10) / 2 = 9.

Ответ: 9.

Ответ: 9

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.

S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существуют три прямые, которые проходят через одну точку.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

Ответ: 13

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 4.

Шаг 1. Умножаем первое на 4: $12x^2+8y^2=200$.

Шаг 2. По второму: $12x^2+8y^2=50x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$200=50x\Rightarrow x=4$.

Шаг 4. Подставляем $x=4$:

$3\cdot16+2y^2=50\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$.

Ответ: $(4;\,-1);\ (4;\,1)$.

Правильный ответ: (4;-1);(4;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время первого = время второго; второй едет две половины с разными скоростями.

Шаг 1. Пусть скорость первого равна x км/ч, длина пути — S.

Шаг 2. 1/x = 1/(2·(x−6)) + 1/(2·56).

Шаг 3. Умножаем на 2·(x−6)·x·56 и упрощаем.

С учётом условия получаем x = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -4,\\-\dfrac{36}{x},& x<-4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катеты прямоугольного треугольника равны 56 и 105. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.

Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(56² + 105²) = √14161 = 119.

Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 56·105/2 = 2940.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 119·h/2.

Шаг 4. Приравниваем: 119·h/2 = 2940 ⟹ h = 56·105/119 = 840/17.

Ответ: 840/17.

Правильный ответ: 840/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении p:q. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как p:q.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы O₁A и O₂B к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ O₁A ∥ O₂B.

Шаг 2. В треугольниках TO₁A и TO₂B (T — точка на O₁O₂):

∠ATO₁ = ∠BTO₂ (вертикальные), O₁A ∥ O₂B ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TO₁/TO₂ = p:q.

Шаг 3. TO₁/TO₂ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как p:q. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=12 и R=20.

O₁O₂ = r + R = 32 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(20·12) = 2√240 = 8√15.

Ответ: 8√15.

Правильный ответ: 8√15

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.