Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1Задание 11 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
Номер листа
Длина (мм)
Ширина (мм)
1
594
420
2
420
297
3
1189
841
4
210
148
Решение
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
Ответ: 3124
2Задание 21 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
Ответ: 8
3Задание 31 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
Ответ: 210
4Задание 41 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
Ответ: 1.4
5Задание 51 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
Ответ: 11
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{25} + 12,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{25} + 12,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{25}) + 12,5 = 12,78\).
Получили результат \(12,78\).
Ответ: \(12,78\).
Ответ: 12,78
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из чисел расположено между числами -2,75 и \(\sqrt{5}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
-3,6
2
1,84
3
3,89
4
\(-\frac{3}{1}\)
Решение
Сравним числа -2,75 и \(\sqrt{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,84) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} + \sqrt{8})\sqrt{2}$$
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
2x = -2
Разделим обе части на 2:
x = -2 / 2
x = -1
Ответ: -1
Ответ: -1
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 35 билетов, Серёжа не выучил 14 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 35.
Благоприятных исходов: 21 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{21}{35}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
Ответ: 0,6
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -\dfrac{1}{2x}\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 6\)
В) \(y = x^2 + 4x - 3\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d1d2sinα / 2, где d1 и d2 – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d1, если d2 = 11, sinα = 0,333, а S = 7,333.
Решение
Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,8 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?
Решение
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,8, d = 0,3, n = 7.
Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 11,9.
Ответ: 11,9.
Ответ: 11,9
15Треугольники и их элементы1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/5, AB = 10. Найдите AC.
Решение
В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.
Значит, AC = AB · sin B = 10 · \(\frac{3}{5}\) = 6.
Ответ: 6.
Ответ: 6
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 32 = 64.
Ответ: 64.
Ответ: 64
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 29° и 58°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 29° - 58° = 93°.
Ответ: 93.
Ответ: 93
18Фигуры на квадратной решётке1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 5 и 7, высота равна 4.
S = (5 + 7) / 2 · 4 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
19Анализ геометрических высказываний1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
1
Все углы ромба равны.
2
Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3
Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Решение
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
Ответ: 3
20Уравнения, неравенства и их системы2 балла
Найдите значение выражения \(22a-2b+30\), если \(\dfrac{2a-6b+9}{6a-2b+9}=4\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(22a-2b\) и подставить.
Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
40/(x + 5) + 30/(x − 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
40(x−5) + 30(x+5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| - 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x - 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x - 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -5. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -5.
Проверка: при m = -5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: -5.
Правильный ответ: -5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 16² + (AB/2)² = 16² + 12² = 400. R = 20.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 12 от центра:
(CD/2)² = R² − 12² = 400 − 144 = 256.
CD/2 = 16.
Шаг 3. CD = 2 · 16 = 32.
Ответ: 32.
Правильный ответ: 32
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
