Загрузка заданий...

Вариант 2320 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

Ответ: 9

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

Ответ: 6

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

Ответ: 10

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

Ответ: 600

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,05 + \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,05 + \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,05) + \frac{3}{4} = 0,8$.

Получили результат $0,8$.

Ответ: $0,8$.

Ответ: 0,8

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a > 6

5 - a < 0

a - 5 < 0

Решение

По чертежу видно, что 5 < a < 6.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a > 6 ⇔ a > 6 — неверно.

3) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — верно.

4) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5^{-2} \cdot (5^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 5^(-2) · (5^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (5^3)^2 = 5^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 5^-2 · 5^6 = 5^4.

Получаем 5^4 = 625.

Ответ: 625.

Ответ: 625

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 2(-6x + 5) = -2x - 67

Решение

Решим уравнение: 3 + 2(-6x + 5) = -2x - 67

Раскроем скобки:

3 + 2(-6x + 5) = -2x - 67

3 - 12x + 10 = -2x - 67

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-12x + 13 = -2x - 67

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-10x = -80

Разделим обе части на -10:

x = -80 / -10

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,8.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k > 0, b < 0

2) k < 0, b < 0

3) k < 0, b > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -95 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = -95 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-95) + 32 = -139.

Ответ: -139.

Ответ: -139

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-7x + 5 ≥ -5x - 5

[5;+∞)

(-∞;5]

(-∞;-5]

[-5;+∞)

Решение

Решим неравенство: -7x + 5 >= -5x - 5.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x <= -10.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x <= 5.

Значит, x меньше или равно 5.

Этому соответствует промежуток (-∞;5].

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 39 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 39, d = -3, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·39 + 3·(-3))/2 = 138.

Ответ: 138.

Ответ: 138

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 7, AB = 20. Найдите cos B.

Решение

В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.

cos B = BC / AB = $\frac{7}{20}$ = 0,35.

Ответ: 0,35.

Ответ: 0,35

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 33°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 33°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 70° - 33° = 37°.

Ответ: 37.

Ответ: 37

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 9.

Решение

В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция диагонали равна средней линии.

При угле 45° вертикальная и горизонтальная проекции равны.

Следовательно, высота равна средней линии: (2 + 9) / 2 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Ответ: 5,5

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 6.

Средняя линия равна 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Верно: любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

2) Верно: свойство биссектрисы угла.

3) Неверно: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник, не обязательно ромб.

Ответ: 12.

Ответ: 12

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 4.

Шаг 1. Умножаем первое на 4: $12x^2+8y^2=200$.

Шаг 2. По второму: $12x^2+8y^2=50x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$200=50x\Rightarrow x=4$.

Шаг 4. Подставляем $x=4$:

$3\cdot16+2y^2=50\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1$.

Ответ: $(4;\,-1);\ (4;\,1)$.

Правильный ответ: (4;-1);(4;1)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 5) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше:

180/x − 180/(x+5) = 3.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+5):

180·5 = 3·x·(x+5).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 3x² + 15x − 900 = 0.

Шаг 5. D = 11025, √D = 105.

x = (−15 + 105) / (2·3) = 15 (скорость второго).

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+5,& x\ge 1,\\x+3,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {1}∪(2;4).

Ответ: {1}∪(2;4).

Правильный ответ: {1}∪(2;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 15 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(15² − 12²) = √(81) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.

Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 18° и 72°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 3. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 18° + 72° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 6 и 3.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 6 и (b-a)/2 = 3 (или наоборот).

a+b = 12, b-a = 6.

b = 9, a = 3.

Ответ: 3; 9.

Правильный ответ: 3; 9

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.