Загрузка заданий...

Вариант 2325 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 30 см на 40 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,3 · 0,4 = 0,12 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,12 = 300.

В одной упаковке 6 штук, значит понадобится 50 упаковок.

Ответ: 50.

Ответ: 50

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

Ответ: 18

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

Ответ: 100

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

Ответ: 820

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{3}{20} + 0,005 : \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{3}{20} + 0,005 : \frac{1}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,005) : \frac{1}{10} = 0,05$.

Шаг 2: $(\frac{3}{20}) + 0,05 = 0,2$.

Получили результат $0,2$.

Ответ: $0,2$.

Ответ: 0,2

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a - 4 < 0

a - 4 > 0

-a < -5

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

По чертежу видно, что 4 < a < 5.

Проверим варианты ответа:

1) a - 4 < 0 ⇔ a < 4 — неверно.

2) a - 4 > 0 ⇔ a > 4 — верно.

3) -a < -5 ⇔ a > 5 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 4)(\sqrt{8} + 4)$$

Решение

Вычислим выражение: (√8 - 4)(√8 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 4² = 8 - 16 = -8.

Ответ: -8.

Ответ: -8

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 2y = 25 \\ 3x + 2y = -29 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-3x + 2y = 25

3x + 2y = -29

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на -3.

Получим:

$(-3x + 2y = 25) \cdot 3$: -9x + 6y = 75

$(3x + 2y = -29) \cdot -3$: -9x - 6y = 87

Вычтем второе уравнение из первого:

12y = -12

y = -12 / 12 = -1

Подставим y = -1 в первое уравнение:

-3x + 2y = 25

Получаем x = -9.

Ответ: (-9;-1)

Ответ: -9;-1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 30 билетов, Олег не выучил 21 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 30.

Благоприятных исходов: 9 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{9}{30}$ = 0,3.

Ответ: 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) k < 0, b < 0

2) k < 0, b > 0

3) k > 0, b < 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 346,8 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 346,8·1000 = 346 800 Дж.

v = √(2·346 800/2400) = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 8)(x - 9) ≥ 0

Решение

Нули выражения: x = -8 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 9) >= 0 получаем решение (-∞;-8] ∪ [9;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,6 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.

После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.

Ответ: 6.

Ответ: 6

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 32, BM – медиана, BM = 10. Найдите AM.

Решение

Медиана делит сторону, к которой проведена, пополам.

Поэтому AM = AC : 2 = 32 : 2 = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 1. Найдите площадь квадрата ABCD.

Решение

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.

По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.

Следовательно, OA = a√5 / 2.

По условию OA = 1, значит a = 2/√5.

Площадь квадрата равна a² = 0,8.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.

Следовательно, угол A равен 30° + 45° = 75°.

Больший угол параллелограмма равен 180° - 75° = 105°.

Ответ: 105.

Ответ: 105

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок BM длиннее отрезка AM?

Решение

Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.

M делит AB: вектор AM=(0,75; 1,5)=$\frac{1}{4}$·AB=(3,6). BM=3·AM.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.

3) Верно.

Ответ: 3.

Ответ: 3

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $55a-b+65$, если $\dfrac{a-7b+8}{7a-b+8}=8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $55a-b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $a-7b+8 = 8(7a-b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $a-7b+8 = 56a-8b+64$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 55a-b+56$, откуда $55a-b = -56$.

Шаг 4. Вычисляем: $55a-b+65 = -56+65 = 9$.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 216 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.

Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.

Шаг 2. Время выполнения: вторым — 216/x ч, первым — 216/(x+9) ч.

Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:

216/x − 216/(x+9) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+9):

216·(x+9) − 216·x = 4·x·(x+9).

1944 = 4·x² + 36·x.

4x² + 36x − 1944 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1944 = 1296 + 31104 = 32400, √D = 180.

x = (−36 + 180) / (2·4) = 18 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: второй — 216/18 = 12 ч, первый — 216/27 = 8 ч.

12 − 8 = 4 = 4. ✓

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+4),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; -4; 4 $.

Ответ: $ -5; -4; 4 $.

Правильный ответ: -5; -4; 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 4, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 4 · 36 = 144.

Шаг 3. AB = √144 = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 3 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 4. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 3 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 5 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·3 = 6.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 168.

Ответ: 168.

Правильный ответ: 168

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.