Загрузка заданий...
Вариант 2348 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.
В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:
- пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
- пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы.
Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.
| Исходящие вызовы | 3 руб./мин. |
|---|---|
| Мобильный интернет (пакет) | 90 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.
1
Задание 1
1 балл
Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице трафику мобильного интернета. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 1 ГБ, 3 ГБ, 3,25 ГБ, 1,5 ГБ.
| Мобильный интернет | 1 ГБ | 3 ГБ | 3,25 ГБ | 1,5 ГБ |
|---|---|---|---|---|
| Номер месяца |
Решение
По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 76108.
Ответ: 76108
2
Задание 2
1 балл
Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в феврале?
Решение
В феврале минуты не превышают пакет, а интернет превышает пакет на 0,5 ГБ. Доплата за 0,5 ГБ равна 90 руб. Итого: 350 + 90 = 440 руб. Ответ: 440.
Ответ: 440
3
Задание 3
1 балл
Сколько месяцев в 2019 году абонент превысил лимит по пакету мобильного интернета?
Решение
По пунктирному графику лимит 3 ГБ превышен в четырёх месяцах. Ответ: 4.
Ответ: 4
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в феврале по сравнению с январём 2019 года?
Решение
В январе 2,5 ГБ, в феврале 3,5 ГБ. Увеличение: 3,5 − 2,5 = 1 ГБ. Процент увеличения: 1 : 2,5 · 100% = 40%. Ответ: 40.
Ответ: 40
5
Задание 5
1 балл
В конце 2019 года оператор связи предложил абоненту перейти на новый тариф, условия которого приведены в таблице.
| Стоимость перехода на тариф | 0 руб. |
|---|---|
| Абонентская плата в месяц | 440 руб. |
| Пакет исходящих вызовов | 400 минут |
| Пакет мобильного интернета | 4 ГБ |
| Пакет СМС | 120 СМС |
| Входящие вызовы | 0 руб./мин. |
| Исходящие вызовы* | 4 руб./мин. |
| Мобильный интернет (пакет) | 180 руб. за 0,5 ГБ |
| СМС | 2 руб./шт. |
*исходящие вызовы на номера, зарегистрированные на территории РФ
Абонент решает, перейти ли ему на новый тариф, посчитав, сколько бы он потратил на услуги связи за 2019 г., если бы пользовался им. Если получится меньше, чем он потратил фактически за 2019 г., то абонент примет решение сменить тариф. Перейдёт ли абонент на новый тариф? В ответе запишите ежемесячную абонентскую плату по тарифу, который выберет абонент на 2020 год.
Решение
По расчётам за год новый тариф оказался выгоднее фактических расходов на тарифе «Стандартный», поэтому абонент выберет тариф с ежемесячной платой 440 руб. Ответ: 440.
Ответ: 440
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{5} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{4}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{16}\).
Шаг 2: \((\frac{7}{5}) + \frac{3}{16} = \frac{127}{80}\).
Получили дробь \(\frac{127}{80}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,5875\).
Ответ: \(1,5875\).
Ответ: 1,5875
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше -4,5, но меньше -1,92.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Сравним числа -4,5 и -1,92. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(-\frac{17}{4}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 5)(\sqrt{6} + 5)$$
Решение
Вычислим выражение: (√6 - 5)(√6 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 5² = 6 - 25 = -19.
Ответ: -19.
Ответ: -19
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x + 9} = -2$$
Решение
Решим уравнение: -8/(x + 9) = -2
Область допустимых значений: x != -9.
Умножим обе части уравнения на x + 9:
-8 = -2(x + 9)
Раскроем скобки:
-8 = -2x - 18
Перенесём число в левую часть:
10 = -2x
x = 10 / -2
x = -5
Проверка ОДЗ: x = -5, x != -9, условие выполняется.
Ответ: -5
Ответ: -5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\).
Решение
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,25.
Ответ: 0,25
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 10 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1 960 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 1 960/(9,8·10) = 20.
Ответ: 20.
Ответ: 20
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
2x - 8 > 4x + 6
Решение
Решим неравенство: 2x - 8 > 4x + 6.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x < 14.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x < -7.
Значит, x меньше -7.
Этому соответствует промежуток (-∞;-7).
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 24 мест, а в восьмом ряду 39 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (39 - 24) / (8 - 3) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a3 - (3 - 1)·d = 24 - 2·3 = 18.
Последний ряд: a15 = a₁ + (15 - 1)·d = 18 + 14·3 = 60.
Ответ: 60.
Ответ: 60
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 10, sin ∠ABC = 1/3. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 6 · 10 · \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{60}{6}\) = 10.
Ответ: 10.
Ответ: 10
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 124° = 56°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 56° / 2 = 28°.
Ответ: 28.
Ответ: 28
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 41° = 82°.
Ответ: 82.
Ответ: 82
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 10 и 5.
Искомое отношение площадей равно (10 / 5)² = 4.
Ответ: 4.
Ответ: 4
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
Ответ: 2
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-1)^2<\sqrt{2}(x-1)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-1)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-1)^2-\sqrt{2}(x-1)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-1)\bigl[(x-1)-\sqrt{2}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=1\) и \(x=1+\sqrt{2}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((1;\; 1+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (1;1+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 132 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 21 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение:
132/(x+5) + 21 + 132/(x−5) = 32.
Шаг 3. Переносим стоянку: 132/(x+5) + 132/(x−5) = 11.
Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
132(x−5) + 132(x+5) = 11(x²−25).
Шаг 5. Левая часть: 2·132·x = 264x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 25.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{22}{5}\) + 21 + \(\frac{33}{5}\) = 32. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+1,& x\ge -1,\\-\dfrac{4}{x},& x<-1.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (0;1)∪[4;+∞).
Ответ: (0;1)∪[4;+∞).
Правильный ответ: (0;1)∪[4;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 54.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 6 · 54 = 324.
Шаг 3. AB = √324 = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 126° и 99°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 126° − 90° = 36°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 99° − 90° = 9°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 36° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 9° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 9° = 81°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 81° − 36° = 45°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(45°) = 11 / sin(45°) = 11√2.
Ответ: 11√2.
Правильный ответ: 11√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.