Загрузка заданий...

Вариант 2354 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.

Ответ: 215

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?

Решение

В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.

Ответ: 118.25

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.

Ответ: 2.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.

Ответ: 631.9

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.

Ответ: 1.7

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$9 + 0,05$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $9 + 0,05$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(9) + 0,05 = 9,05$.

Ответ: $9,05$.

Ответ: 9,05

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a + 9 > 0

$\frac{1}{a} > 0$

-a < 8

a + 9 < 0

Решение

По чертежу видно, что -9 < a < -8.

Проверим варианты ответа:

1) a + 9 > 0 ⇔ a > -9 — верно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) -a < 8 ⇔ a > -8 — неверно.

4) a + 9 < 0 ⇔ a < -9 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{11})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√11)².

Используем свойство степени произведения: (5√11)² = 5² · (√11)².

Получаем 25 · 11 = 275.

Ответ: 275.

Ответ: 275

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 4(-3x + 6) = x - 25

Решение

Решим уравнение: 3 + 4(-3x + 6) = x - 25

Раскроем скобки:

3 + 4(-3x + 6) = x - 25

3 - 12x + 24 = x - 25

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-12x + 27 = x - 25

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-13x = -52

Разделим обе части на -13:

x = -52 / -13

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 125 карманных фонариков, поступивших в продажу, 82 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Всего равновозможных исходов: 125.

Благоприятных исходов: 43 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 43/125 = 0,344.

Ответ: 0,344.

Ответ: 0,344

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 4, sinα = 0,083, а S = 2,833.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·2,833/(4·0,083) = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-2x - 9 ≤ -5x

[-3;+∞)

(-∞;-3]

[0;+∞)

(-∞;3]

Решение

Решим неравенство: -2x - 9 <= -5x.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 3x <= 9.

Делим обе части на 3: x <= 3.

Значит, x меньше или равно 3.

Этому соответствует промежуток (-∞;3].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,6 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,6, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 12.

Ответ: 12.

Ответ: 12

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/4, BC = 36. Найдите AC.

Решение

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 36 · $\frac{7}{4}$ = 63.

Ответ: 63.

Ответ: 63

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC = 24, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 25.

Следовательно, R = AB / 2 = 25 / 2 = 12,5.

Ответ: 12,5.

Ответ: 12,5

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов равнобедренной трапеции равен 94°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

В равнобедренной трапеции соседние углы при боковой стороне supplementary.

Искомый угол равен 180° - 94° = 86°.

Ответ: 86.

Ответ: 86

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 6.

Средняя линия равна 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $2a-5b+4$, если $\dfrac{4a-3b+3}{3a-4b+3}=2$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $2a-5b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-3b+3 = 2(3a-4b+3)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-3b+3 = 6a-8b+6$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 2a-5b+3$, откуда $2a-5b = -3$.

Шаг 4. Вычисляем: $2a-5b+4 = -3+4 = 1$.

Ответ: 1.

Правильный ответ: 1

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 3 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 8) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 7 км.

Длина круга = x + 7 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 3 мин назад, то есть за (1 − $\frac{3}{60}$) = 0,95 ч.

Длина круга = (x + 8) · 0,95 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 7 = (x + 8) · 0,95.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 12 км/ч.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+2,& x\ge -2,\\-\dfrac{6}{x},& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (0;2)∪(6;+∞).

Ответ: (0;2)∪(6;+∞).

Правильный ответ: (0;2)∪(6;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB = 8.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 3,6, AB = 8.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 3,6·AC − 8² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 3,6·AC − 64 = 0.

Положительный корень: AC = 10.

Проверка: D = (10² − 8²)/10 = $\frac{36}{10}$ = 3,6. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 9.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 9.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 9 + 9 = 18.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 12 · 18 = 216.

Ответ: 216.

Правильный ответ: 216

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.