Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.
Ответ: 185
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?
Решение
В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.
Ответ: 115.5
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.
Ответ: 9.1
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.
Ответ: 591
5Задание 51 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.
Ответ: 0.8
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$4,5 \cdot \frac{1}{20}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(4,5 \cdot \frac{1}{20}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((4,5) \cdot \frac{1}{20} = 0,225\).
Получили результат \(0,225\).
Ответ: \(0,225\).
Ответ: 0,225
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
a - 5 < 0
2
6 - a < 0
3
a - 6 < 0
4
\(\frac{1}{a} < 0\)
Решение
По чертежу видно, что 5 < a < 6.
Проверим варианты ответа:
1) a - 5 < 0 ⇔ a < 5 — неверно.
2) 6 - a < 0 ⇔ a > 6 — неверно.
3) a - 6 < 0 ⇔ a < 6 — верно.
4) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{30}$$
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x + 2y = -4) \cdot -2\): 4x - 4y = 8
\((-2x + 4y = 8) \cdot -2\): 4x - 8y = -16
Вычтем второе уравнение из первого:
4y = 24
y = 24 / 4 = 6
Подставим y = 6 в первое уравнение:
-2x + 2y = -4
Получаем x = 8.
Ответ: (8;6)
Ответ: 8;6
10Статистика, вероятности1 балл
У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Всего равновозможных исходов: 10.
Благоприятных исходов: 3 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{3}{10}\) = 0,3.
Ответ: 0,3.
Ответ: 0,3
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
2) \(y = -2x - 3\)
3) \(y = 3x + 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.
Ответ: 321
12Расчёты по формулам1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 4 312 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 4 312/(9,8·40) = 11.
Ответ: 11.
Ответ: 11
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
7x + 3 > 8x - 2
1
(-∞;5)
2
(-∞;-1)
3
(-5;+∞)
4
(0;+∞)
Решение
Решим неравенство: 7x + 3 > 8x - 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -1x < -5.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -1: x < 5.
Значит, x меньше 5.
Этому соответствует промежуток (-∞;5).
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14Задачи на прогрессии1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 16, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 16·3^3 = 432 мг.
Ответ: 432.
Ответ: 432
15Треугольники и их элементы1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.
Решение
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
16Окружность, круг и их элементы1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 10, BC = 14, CD = 22. Найдите AD.
Решение
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 10 + 22 - 14 = 18.
Ответ: 18.
Ответ: 18
17Четырёхугольники, многоугольники и их элементы1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.
Шаг 3. ОДЗ: \(3-x\ge0\Rightarrow x\le3\). Значит \(x=5\) не подходит.
Ответ: \(-2\).
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21Текстовые задачи2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 132 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 132 кг свежих фруктов:
132 · 18/100 = 23,76 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 28% воды, значит сухого вещества 72%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,72·x = 23,76.
x = 23,76 / 0,72 = 33 кг.
Ответ: 33.
Правильный ответ: 33
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| + 7\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x + 7.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x + 7.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 7. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 7.
Проверка: при m = 7 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 7.
Правильный ответ: 7
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,2, а AB = 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 86° и 4°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 86° + 4° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 20 и 17.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 20 и (b-a)/2 = 17 (или наоборот).
