Загрузка заданий...

Вариант 2367 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

Ответ: 9

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

Ответ: 6

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

Ответ: 10

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

Ответ: 600

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,002 + \frac{2}{1} + 10$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,002 + \frac{2}{1} + 10$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,002) + \frac{2}{1} = 2,002$.

Шаг 2: $(2,002) + 10 = 12,002$.

Получили результат $12,002$.

Ответ: $12,002$.

Ответ: 12,002

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше $-\frac{23}{8}$, но меньше 4,93.
В ответе укажите номер правильного варианта.

$-\frac{93}{20}$

$\frac{1}{2}$

-4,6

$-\frac{89}{20}$

Решение

Сравним числа $-\frac{23}{8}$ и 4,93. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 ($\frac{1}{2}$) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{6})^2$$

Решение

Вычислим выражение: (5√6)².

Используем свойство степени произведения: (5√6)² = 5² · (√6)².

Получаем 25 · 6 = 150.

Ответ: 150.

Ответ: 150

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 10x + 25 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 10x + 25 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 10, c = 25.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 10² - 4·1·25 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -10 / 2 = -5

Ответ: -5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 40 билетов, Костя не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 38 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{38}{40}$ = 0,95.

Ответ: 0,95.

Ответ: 0,95

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k > 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 213.

Ответ: 213

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 50 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Подставим C = 0,0001 и U = 50 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·50² / 2 = 0,125.

Ответ: 0,125.

Ответ: 0,125

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 25 > 0

x² - 25 < 0

x² - 25 ≥ 0

x² - 25 ≤ 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -7.

Последний положительный член прогрессии равен 2, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(16 + 2)/2 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 17 = 204/2 = 102.

Ответ: 102.

Ответ: 102

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.

p = 50 / 2 = 25.

S = p·r = 25 · 6 = 150.

Ответ: 150.

Ответ: 150

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание, если высота равна 5, большее основание равно 14, а угол при основании равен 45°.

Решение

При угле 45° разность оснований равна двум высотам.

Меньшее основание равно 14 - 2·5 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.

Решение

Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.

Катеты равны 6 и 8.

Больший катет равен 8.

Ответ: 8.

Ответ: 8

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

Ответ: 1

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $7a-17b+45$, если $\dfrac{2a-b+5}{a-2b+5}=9$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $7a-17b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-b+5 = 9(a-2b+5)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-b+5 = 9a-18b+45$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 7a-17b+40$, откуда $7a-17b = -40$.

Шаг 4. Вычисляем: $7a-17b+45 = -40+45 = 5$.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 15 + x. Против течения: 15 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

140/(15+x) + 11 + 140/(15−x) = 32.

Шаг 3. Переносим стоянку: 140/(15+x) + 140/(15−x) = 21.

Шаг 4. Умножаем на (15+x)(15−x) = 225−x²:

140(15−x) + 140(15+x) = 21(225−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·140·15 = 4200. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 5.

Шаг 7. Проверка: 7 + 11 + 14 = 32. ✓

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+5,& x\ge 1,\\x+3,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {1}∪(2;4).

Ответ: {1}∪(2;4).

Правильный ответ: {1}∪(2;4)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 21 + 8 = 29.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 29 и катетом DH = 21.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(29² − 21²) = √(400) = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 4 · 15 = 60.

AT = √60.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 11 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{15}{4}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.