Загрузка заданий...

Вариант 2390 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей.

Номер печи	Тип	Объём помещения (куб. м)	Масса (кг)	Стоимость (руб.)
1	дровяная	8—12	40	18 000
2	дровяная	10—16	48	19 500
3	электрическая	9—15,5	15	15 000

Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между массами и номерами печей. В ответ запишите последовательность трёх цифр для масс 15, 40 и 48 кг.

Масса (кг)	15	40	48
Номер печи

Решение

По таблице: №1 — 40 кг и 18 000 руб.; №2 — 48 кг и 19 500 руб.; №3 — 15 кг и 15 000 руб. Ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах.

Решение

Объём парного отделения: 3,5 · 2,2 · 2 = 15,4 куб. м. Ответ: 15,4.

Ответ: 15.4

3 Задание 3 1 балл

На сколько рублей покупка дровяной печи, подходящей по объёму парного отделения, обойдётся дешевле электрической с учётом установки?

Решение

Объём парной 15,4 куб. м. Подходит дровяная печь №2 за 19 500 руб. Электрическая печь с установкой: 15 000 + 6 500 = 21 500 руб. Разница: 21 500 − 19 500 = 2 000 руб. Ответ: 2000.

Ответ: 2000

4 Задание 4 1 балл

На дровяную печь, масса которой 40 кг, сделали скидку 10%. Сколько рублей стала стоить печь?

Решение

Печь массой 40 кг — №1, стоит 18 000 руб. Скидка 10% равна 1 800 руб. Новая цена: 18 000 − 1 800 = 16 200 руб. Ответ: 16200.

Ответ: 16200

5 Задание 5 1 балл

Хозяин выбрал дровяную печь (рис. 1). Чертёж передней панели печи показан на рисунке 2. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.

Решение

Центр окружности — середина нижней части кожуха, а радиус проведён в точку, где арка сходится с боковой стенкой.

Получается прямоугольный треугольник. Первый катет — половина ширины кожуха: 50 : 2 = 25 см. Второй катет — высота боковой стенки: 60 см.

По теореме Пифагора: R = √(25² + 60²) = √(625 + 3600) = √4225 = 65 см.

Частая ошибка — взять всю ширину 50 вместо половины: тогда выходит √(50² + 60²) ≈ 78, но это не радиус.

Ответ: 65.

Ответ: 65

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{5} \cdot \frac{5}{2} + \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{5}) \cdot \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$.

Шаг 2: $(\frac{9}{2}) + \frac{1}{1} = \frac{11}{2}$.

Получили дробь $\frac{11}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $5,5$.

Ответ: $5,5$.

Ответ: 5,5

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\frac{-22}{7}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{-22}{7}$ по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-3} \cdot (3^3)^2$$

Решение

Вычислим выражение: 3^(-3) · (3^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^2 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-3 · 3^6 = 3^3.

Получаем 3^3 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - 6y = -9 \\ -2x + 2y = 0 \end{cases}$$

Решение

Решим систему:

-3x - 6y = -9

-2x + 2y = 0

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -3.

Получим:

$(-3x - 6y = -9) \cdot -2$: 6x + 12y = 18

$(-2x + 2y = 0) \cdot -3$: 6x - 6y = 0

Вычтем второе уравнение из первого:

18y = 18

y = 18 / 18 = 1

Подставим y = 1 в первое уравнение:

-3x - 6y = -9

Получаем x = 1.

Ответ: (1;1)

Ответ: 1;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события B.

Решение

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,2.

Ответ: 0,2

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -x^2 + 7x - 7$

Б) $y = \dfrac{9}{x}$

В) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 8 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 862,4 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 862,4/(9,8·8) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

1x - x² ≥ 0

Решение

Разложим: 1x - x² = x(1 - x). Нули: 0 и 1. Верное решение: [0;1]. Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 23 мест, а в восьмом ряду 25 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (25 - 23) / (8 - 6) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 23 - 5·1 = 18.

Последний ряд: a15 = a₁ + (15 - 1)·d = 18 + 14·1 = 32.

Ответ: 32.

Ответ: 32

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 4 · 11 = $\frac{44}{2}$ = 22.

Ответ: 22.

Ответ: 22

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

Решение

Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.

Значит, диагональ равна 25.

Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.

После вычисления сторон получаем площадь 168.

Ответ: 168.

Ответ: 168

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В ромбе ABCD угол ABC равен 146°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение

В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.

Следовательно, угол C равен 180° - 146° = 34°.

Диагональ AC биссектрисой угла C.

Поэтому ∠ACD = 34° / 2 = 17°.

Ответ: 17.

Ответ: 17

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 8 и 4.

Искомое отношение площадей равно (8 / 4)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно.

2) Верно: диагонали любого параллелограмма, а значит и ромба, делятся пополам.

3) Неверно: такие прямые параллельны.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x-1)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2-2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Берём только $t=3$.

Шаг 4. Решаем $(x-1)^2=3$:

$x-1=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=1\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $1-\sqrt{3};\quad 1+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: 1-√3;1+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 11 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 15 + x. Против течения: 15 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

140/(15+x) + 11 + 140/(15−x) = 32.

Шаг 3. Переносим стоянку: 140/(15+x) + 140/(15−x) = 21.

Шаг 4. Умножаем на (15+x)(15−x) = 225−x²:

140(15−x) + 140(15+x) = 21(225−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·140·15 = 4200. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 5.

Шаг 7. Проверка: 7 + 11 + 14 = 32. ✓

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{1x-3}{1x^2-3x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=3 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=3 $, откуда $ k=1/9 $.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

Правильный ответ: 1/9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:

(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.

CD/2 = 24.

Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 13 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 13. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 1120.

Ответ: 1120.

Правильный ответ: 1120

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.