Загрузка заданий...

Вариант 2405 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/60 R15.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 185.

Ответ: 185

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 165/70 R14?

Решение

В маркировке 165/70 R14 ширина шины равна 165 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 165 · 70 / 100 = 115.5 мм. Ответ: 115.5.

Ответ: 115.5

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/45 R16?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и нового колеса 195/45 R16. Ответ: 9.1.

Ответ: 9.1

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/60 R15 получаем диаметр 591 мм. Ответ: 591.

Ответ: 591

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/55 R15? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/60 R15 и колеса 195/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 0.8.

Ответ: 0.8

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,012 + \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,012 + \frac{4}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,012) + \frac{4}{1} = 4,012$.

Получили результат $4,012$.

Ответ: $4,012$.

Ответ: 4,012

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\sqrt{12}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{12}$ по своему значению совпадает с точкой C.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 5)(\sqrt{3} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√3 - 5)(√3 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 5² = 3 - 25 = -22.

Ответ: -22.

Ответ: -22

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-3}{x - 3} = 1$$

Решение

Решим уравнение: -3/(x - 3) = 1

Область допустимых значений: x != 3.

Умножим обе части уравнения на x - 3:

-3 = 1(x - 3)

Раскроем скобки:

-3 = 1x - 3

Перенесём число в левую часть:

0 = 1x

x = 0 / 1

x = 0

Проверка ОДЗ: x = 0, x != 3, условие выполняется.

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 8 чёрных, 4 жёлтых и 28 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 4 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{4}{40}$ = 0,1.

Ответ: 0,1.

Ответ: 0,1

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками функций.

Коэффициенты

А) k < 0, b < 0

Б) k > 0, b > 0

В) k > 0, b < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Смотрим на наклон прямой и точку пересечения с осью Oy. Возрастание даёт знак k, положение пересечения с осью Oy даёт знак b. Ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₁, если d₂ = 14, sinα = 0,545, а S = 61,091.

Решение

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₁: d₁ = 2S/(d₂sinα).

d₁ = 2·61,091/(14·0,545) = 16.

Ответ: 16.

Ответ: 16

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

x² - 5x < 0

x² - 5x > 0

x² - 25 < 0

x² - 25 > 0

Решение

Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.

После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.

Ответ: 7.

Ответ: 7

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 14√2, то d = 14√2 · √2 = 28.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 28 / 2 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Соседние углы параллелограмма supplementary.

Искомый угол равен 180° - 91° = 89°.

Ответ: 89.

Ответ: 89

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(7−5)/(7−1)=$\frac{1}{3}$. x_A=1+$\frac{1}{3}$·3=2, x_B=4+$\frac{2}{3}$·3=6. AB=4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(8-x)(x^2-64)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-8)$.

Шаг 1. $x^2-64=(x-8)(x+8)$ и $8-x=-(x-8)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-8)^2(x+8)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-8)^2(x+8)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+8\le0\Rightarrow x\le-8$, или $x=8$.

Ответ: $(-\infty;\;-8]\cup\{8\}$.

Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 18 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 10 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 10) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.

Длина круга = x + 4 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 18 мин назад, то есть за (1 − $\frac{18}{60}$) = 0,7 ч.

Длина круга = (x + 10) · 0,7 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 10) · 0,7.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 10 км/ч.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-6x+10,& x\ge 1,\\x+2,& x<1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {1}∪[3;5].

Ответ: {1}∪[3;5].

Правильный ответ: {1}∪[3;5]

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 8, AC = 72.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 8 · 72 = 576.

Шаг 3. AB = √576 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: показать, что точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁B = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AB виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 2. BB₁ — высота, поэтому ∠AB₁B = 90°. Значит и точка B₁ лежит на окружности с диаметром AB.

Шаг 3. Итак, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁B₁ и ∠ABB₁ опираются на одну и ту же дугу AB₁, поэтому равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 1.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 1.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 1 + 1 = 2.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 12 · 2 = 24.

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.