Загрузка заданий...

Вариант 2423 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 175/70 R12.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 13 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

Ответ: 195

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 175/65 R13?

Решение

В маркировке 175/65 R13 ширина шины равна 175 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 175 · 65 / 100 = 113.75 мм. Ответ: 113.75.

Ответ: 113.75

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R13?

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и нового колеса 195/60 R13. Ответ: 14.4.

Ответ: 14.4

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 175/70 R12 получаем диаметр 549.8 мм. Ответ: 549.8.

Ответ: 549.8

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 175/65 R13? Результат округлите до десятых.

Решение

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 175/70 R12 и колеса 175/65 R13, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.4.

Ответ: 1.4

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{1} + \frac{7}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{1} + \frac{7}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{1}) + \frac{7}{4} = \frac{11}{4}$.

Получили дробь $\frac{11}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,75$.

Ответ: $2,75$.

Ответ: 2,75

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a + 6 < 0

$\frac{1}{a} > 0$

a + 5 < 0

a + 5 > 0

Решение

По чертежу видно, что -6 < a < -5.

Проверим варианты ответа:

1) a + 6 < 0 ⇔ a < -6 — неверно.

2) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

3) a + 5 < 0 ⇔ a < -5 — верно.

4) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — неверно.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{10} - 5)(\sqrt{10} + 5)$$

Решение

Вычислим выражение: (√10 - 5)(√10 + 5).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√10)² - 5² = 10 - 25 = -15.

Ответ: -15.

Ответ: -15

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 8x + 7 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 8x + 7 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 8, c = 7.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 8² - 4·1·7 = 36.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-8 - √36) / 2 = -7

x₂ = (-8 + √36) / 2 = -1

Ответ: -7;-1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события $A \cup B$.

Решение

Всего элементарных исходов: 5. Благоприятных для события $A \cup B$: 4.

$P=4/5=0,8$.

Ответ: 0,8

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{x}$

Б) $y = -x^2 + 4x - 3$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 234 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 3 234/(9,8·30) = 11.

Ответ: 11.

Ответ: 11

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≥ 25

Решение

Из неравенства x² >= 25 получаем границы x = ±5. Верное решение: (-∞;-5] ∪ [5;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 6 секунд движения?

Решение

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,3, n = 6.

Сумма первых 6 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 7,5.

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 13√3.

Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.

Ответ: 26.

Ответ: 26

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 132°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 81°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 132° - 81° = 51°.

Ответ: 51.

Ответ: 51

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (8 - 2) / 2 = 3.

S = (2 + 8) / 2 · 3 = 15.

Ответ: 15.

Ответ: 15

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 3.

Искомое отношение площадей равно (6 / 3)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

1) Неверно: не каждая биссектриса.

2) Верно.

3) Неверно: касательная перпендикулярна радиусу.

Ответ: 2.

Ответ: 2

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-3x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+10$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сокращаем $\sqrt{3-x}$ из обеих частей.

Шаг 1. После сокращения:

$x^2-3x=10$.

Шаг 2. Решаем:

$x^2-3x-10=0\Rightarrow(x-5)(x+2)=0$.

Корни: $x=5$ и $x=-2$.

Шаг 3. ОДЗ: $3-x\ge0\Rightarrow x\le3$. Значит $x=5$ не подходит.

Ответ: $-2$.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 2. По течению: x + 2.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 3 ч больше):

297/(x − 2) − 297/(x + 2) = 3.

Шаг 3. Умножаем на (x−2)(x+2) = x²−4:

297(x+2) − 297(x−2) = 3(x²−4).

Шаг 4. Левая часть: 297·2·2 = 1188. Получаем квадратное уравнение:

3x² − 1188 − 12 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 20.

Шаг 6. Проверка: 297/18 = $\frac{33}{2}$ ч, 297/22 = $\frac{27}{2}$ ч, разность 3 ч. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| - 4\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x - 4.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x - 4.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -4. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -4.

Проверка: при m = -4 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: -4.

Правильный ответ: -4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 73° и 77°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.

Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 73° − 77° = 30°.

Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.

Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·11·($\frac{1}{2}$) = 11.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы BCA и BDA равны по условию и опираются на хорду BA.

По обратной теореме четырёхугольник ABCD вписанный.

Шаг 2. Углы ABD и ACD опираются на хорду AD.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.

Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=12 и R=20.

O₁O₂ = r + R = 32 (внешнее касание).

Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.

Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.

Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).

Аналогично CD ⊥ O₁O₂.

Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.

По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(20·12) = 2√240 = 8√15.

Ответ: 8√15.

Правильный ответ: 8√15

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.