Загрузка заданий...
Вариант 2425 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
Ответ: 225
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 235/50 R17?
Решение
В маркировке 235/50 R17 ширина шины равна 235 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 235 · 50 / 100 = 117.5 мм. Ответ: 117.5.
Ответ: 117.5
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и нового колеса 225/50 R17. Ответ: 7.6.
Ответ: 7.6
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/60 R16 получаем диаметр 664.4 мм. Ответ: 664.4.
Ответ: 664.4
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/60 R16 и колеса 225/50 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.1.
Ответ: 1.1
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} + \frac{3}{2} : \frac{4}{9}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} + \frac{3}{2} : \frac{4}{9}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) : \frac{4}{9} = \frac{27}{8}\).
Шаг 2: \((\frac{3}{2}) + \frac{27}{8} = \frac{39}{8}\).
Получили дробь \(\frac{39}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(4,875\).
Ответ: \(4,875\).
Ответ: 4,875
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
По чертежу видно, что 4 < a < 5.
Проверим варианты ответа:
1) 5 - a < 0 ⇔ a > 5 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
3) a < 5 ⇔ a < 5 — верно.
4) a < 4 ⇔ a < 4 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{108} + \sqrt{12})\sqrt{3}$$
Решение
Вычислим выражение: (√108 + √12)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √108 = 6√3, √12 = 2√3.
Тогда получаем (6√3 + 2√3)·√3 = 8√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 8·3 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - 8y = -62 \\ -3x + 7y = 43 \end{cases}$$
Решение
Решим систему:
-3x - 8y = -62
-3x + 7y = 43
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x - 8y = -62) \cdot -3\): 9x + 24y = 186
\((-3x + 7y = 43) \cdot -3\): 9x - 21y = -129
Вычтем второе уравнение из первого:
45y = 315
y = 315 / 45 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
-3x - 8y = -62
Получаем x = 2.
Ответ: (2;7)
Ответ: 2;7
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 15 чёрных, 9 жёлтых и 16 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{40}\) = 0,225.
Ответ: 0,225.
Ответ: 0,225
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 14-минутной поездки.
Решение
Подставим t = 14 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(14 − 5) = 249.
Ответ: 249.
Ответ: 249
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 6x + 0,6 \leqslant 45 \\ 5x − 0,6 \leqslant 39,9 \end{cases}$$
Решение
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;7,4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?
Решение
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = \(\frac{1}{2}\).
Пороговая высота равна 11 см = 0,11 м.
После 6-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 7-го прыжка уже меньше.
Ответ: 7.
Ответ: 7
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 41, сторона BC равна 29, сторона AC равна 48. Найдите MN.
Решение
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Поэтому MN = AC : 2 = 48 : 2 = 24.
Ответ: 24.
Ответ: 24
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 3√5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.
По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.
Следовательно, OA = a√5 / 2.
По условию OA = 3√5, значит a = 6.
Площадь квадрата равна a² = 36.
Ответ: 36.
Ответ: 36
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 25°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
Решение
Угол A трапеции равен 180° - 64° = 116°.
Диагональ делит угол A на два: 25° и искомый.
Искомый угол равен 116° - 25° = 91°.
Ответ: 91.
Ответ: 91
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 3 и 1.
Искомое отношение площадей равно (3 / 1)² = 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.
2) Верно.
3) Верно.
Ответ: 23.
Ответ: 23
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(34a-22b+29\), если \(\dfrac{6a-8b+5}{8a-6b+5}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(34a-22b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(6a-8b+5 = 5(8a-6b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(6a-8b+5 = 40a-30b+25\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 34a-22b+20\), откуда \(34a-22b = -20\).
Шаг 4. Вычисляем: \(34a-22b+29 = -20+29 = 9\).
Ответ: 9.
Правильный ответ: 9
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 34 + x. Против течения: 34 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
285/(34+x) + 19 + 285/(34−x) = 36.
Шаг 3. Переносим стоянку: 285/(34+x) + 285/(34−x) = 17.
Шаг 4. Умножаем на (34+x)(34−x) = 1156−x²:
285(34−x) + 285(34+x) = 17(1156−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·285·34 = 19380. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 4.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{15}{2}\) + 19 + \(\frac{19}{2}\) = 36. ✓
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-8x+14,& x\ge 3,\\x-2,& x<3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;1).
Ответ: {-2}∪(-1;1).
Правильный ответ: {-2}∪(-1;1)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(16² + 30²) = √1156 = 34.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 16·\(\frac{30}{2}\) = 240.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 34·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 34·h/2 = 240 ⟹ h = 16·\(\frac{30}{34}\) = 240/17.
Ответ: 240/17.
Правильный ответ: 240/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.
Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.
Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).
Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.
Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):
AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 18²/36 = 324/36.
Шаг 4. CD = AC − AD = 36 − 324/36 = 27.
Ответ: 27.
Правильный ответ: 27
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.