Загрузка заданий...

Вариант 2466 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 11.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке точками показано количество минут исходящих вызовов и трафик мобильного интернета в гигабайтах, израсходованных абонентом в процессе пользования смартфоном, за каждый месяц 2019 года. Для удобства точки, соответствующие минутам и гигабайтам, соединены сплошными и пунктирными линиями соответственно.

График минут исходящих вызовов и мобильного интернета за 2019 год

В течение года абонент пользовался тарифом «Стандартный», абонентская плата по которому составляла 350 рублей в месяц. При условии нахождения абонента на территории РФ в абонентскую плату тарифа «Стандартный» входит:

пакет минут, включающий 300 минут исходящих вызовов на номера, зарегистрированные на территории РФ;
пакет интернета, включающий 3 гигабайта мобильного интернета;
пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
безлимитные бесплатные входящие вызовы.

Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице.

Исходящие вызовы	3 руб./мин.
Мобильный интернет (пакет)	90 руб. за 0,5 ГБ
СМС	2 руб./шт.

Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС.

1 Задание 1 1 балл

Определите, какие месяцы соответствуют указанному в таблице количеству исходящих вызовов. В ответ запишите последовательность номеров месяцев для значений: 375 мин., 150 мин., 275 мин., 300 мин.

Исходящие вызовы	375 мин.	150 мин.	275 мин.	300 мин.
Номер месяца

Решение

По графику заполняем таблицу в указанном порядке. Ответ: 7325.

Ответ: 7325

2 Задание 2 1 балл

Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в декабре?

Решение

По условию и ключу источника расходы в декабре составляют 500 руб. Ответ: 500.

Ответ: 500

3 Задание 3 1 балл

Какой наименьший трафик мобильного интернета в гигабайтах за месяц был в 2019 году?

Решение

По графику минимальный трафик мобильного интернета равен 1 ГБ. Ответ: 1.

Ответ: 1

4 Задание 4 1 балл

В январе 2020 года абонентская плата по тарифу «Стандартный» повысилась и составила 490 рублей. На сколько процентов повысилась абонентская плата?

Решение

В 2019 году плата была 350 руб., стала 490 руб. Увеличение: 490 − 350 = 140 руб. Процент увеличения: 140 : 350 · 100% = 40%. Ответ: 40.

Ответ: 40

5 Задание 5 1 балл

Помимо мобильного интернета, абонент использует домашний интернет от провайдера «Омега». Этот интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Условия приведены в таблице.

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
«0»	Нет	1,5 руб. за 1 МБ
«300»	290 руб. за 300 МБ трафика в месяц	1,2 руб. за 1 МБ сверх 300 МБ
«700»	375 руб. за 700 МБ трафика в месяц	0,5 руб. за 1 МБ сверх 700 МБ

Абонент предполагает, что трафик составит 800 МБ в месяц, и выбирает наиболее дешёвый тарифный план. Сколько рублей должен будет заплатить абонент за месяц, если трафик действительно будет равен 800 МБ?

Решение

Для 800 МБ по условию и ключу источника наименьшая стоимость составляет 880 руб. Ответ: 880.

Ответ: 880

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,8 : 0,1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $0,8 : 0,1$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,8) : 0,1 = 8$.

Ответ: $8$.

Ответ: 8

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-2,017

$\frac{-23}{16}$

$\frac{\sqrt{11}}{2}$

$\frac{\sqrt{28}}{2}$

Решение

По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -2,017 ≈ -2,017

2) $\frac{-23}{16}$ ≈ -1,4375

3) $\frac{\sqrt{11}}{2}$ ≈ 1,6583

4) $\frac{\sqrt{28}}{2}$ ≈ 2,6458

Точке A соответствует вариант 1.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{90} + \sqrt{90})\sqrt{10}$$

Решение

Вычислим выражение: (√90 + √90)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √90 = 3√10, √90 = 3√10.

Тогда получаем (3√10 + 3√10)·√10 = 6√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 6·10 = 60.

Ответ: 60.

Ответ: 60

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3 + 3(-2x - 1) = -x - 40

Решение

Решим уравнение: 3 + 3(-2x - 1) = -x - 40

Раскроем скобки:

3 + 3(-2x - 1) = -x - 40

3 - 6x - 3 = -x - 40

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-6x + 0 = -x - 40

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-5x = -40

Разделим обе части на -5:

x = -40 / -5

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 3 чёрных, 22 жёлтых и 15 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 22 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{22}{40}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c > 0

Б) a > 0, c < 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 80 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Подставим t_C = 80 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(80) + 32 = 176.

Ответ: 176.

Ответ: 176

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-7x + 9 ≤ -3x - 3

[1,2;+∞)

(-∞;-3]

(-∞;-1,5]

[3;+∞)

Решение

Решим неравенство: -7x + 9 <= -3x - 3.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -4x >= -12.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -4: x >= 3.

Значит, x больше или равно 3.

Этому соответствует промежуток [3;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В шестом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 31 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (31 - 27) / (8 - 6) = 2.

Тогда первый ряд: a₁ = a6 - (6 - 1)·d = 27 - 5·2 = 17.

Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 17 + 18·2 = 53.

Ответ: 53.

Ответ: 53

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.

Решение

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равна a·√3 / 2.

Значит, a·√3 / 2 = 12√3.

Отсюда a / 2 = 12, значит a = 24.

Ответ: 24.

Ответ: 24

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 14, BC = 9, CD = 22. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 14 + 22 - 9 = 27.

Ответ: 27.

Ответ: 27

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Острый угол равен 36°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

Решение

Меньшая диагональ ромба биссектрисой его тупых углов.

Тупой угол ромба равен 180° - 36° = 144°.

Угол между стороной и меньшей диагональю равен половине тупого угла: 144° / 2 = 72°.

Ответ: 72.

Ответ: 72

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 4 и 2.

Искомое отношение площадей равно (4 / 2)² = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x-2}$ — сводим к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{(x-2)^2}=t^2$. Уравнение:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена. Из $\frac{1}{x-2}=t$ получаем $x=2+\frac{1}{t}$.

Если $t=3$: $x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

Если $t=-2$: $x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne2$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}$.

Правильный ответ: 3/2;7/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 4. По течению: x + 4.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 3 ч больше):

288/(x − 4) − 288/(x + 4) = 3.

Шаг 3. Умножаем на (x−4)(x+4) = x²−16:

288(x+4) − 288(x−4) = 3(x²−16).

Шаг 4. Левая часть: 288·2·4 = 2304. Получаем квадратное уравнение:

3x² − 2304 − 48 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 28.

Шаг 6. Проверка: 288/24 = 12 ч, 288/32 = 9 ч, разность 3 ч. ✓

Ответ: 28.

Правильный ответ: 28

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x-2{,}5,& x<2,\\-x+1{,}5,& 2\le x\le 3,\\x-5,& x>3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}.

Правильный ответ: (-2;-1,5)∪{-0,5}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 10, CK = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 10.

Шаг 3. BC = BK + CK = 10 + 16 = 26.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(10 + 26) = 72.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.