Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/60 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1Задание 11 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.
Ответ: 195
2Задание 21 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/45 R17?
Решение
В маркировке 225/45 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 45% от ширины. H = 225 · 45 / 100 = 101.25 мм. Ответ: 101.25.
Ответ: 101.25
3Задание 31 балл
На сколько миллиметров уменьшится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18?
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и нового колеса 225/40 R18. Ответ: 15.2.
Ответ: 15.2
4Задание 41 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/60 R16 получаем диаметр 652.4 мм. Ответ: 652.4.
Ответ: 652.4
5Задание 51 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/40 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/60 R16 и колеса 225/40 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.
Ответ: 2.3
6Числа и вычисления1 балл
Найдите значение выражения $$0,7 - 0,06$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Вычислим значение выражения: \(0,7 - 0,06\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,7) - 0,06 = 0,64\).
Ответ: \(0,64\).
Ответ: 0,64
7Числовые неравенства, координатная прямая1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -4,88 и 1,81?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1
2,8
2
1,6
3
\(\sqrt{6}\)
4
2,4
Решение
Сравним числа -4,88 и 1,81. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (1,6) лежит между этими числами.
Ответ: 2
Ответ: 2
8Числа, вычисления и алгебраические выражения1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{15}$$
Найдите корни уравнения:
x2 + 14x + 49 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Решим уравнение: x2 + 14x + 49 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = 14, c = 49.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = 14² - 4·1·49 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = -14 / 2 = -7
Ответ: -7
Ответ: -7
10Статистика, вероятности1 балл
На экзамене 40 билетов, Серёжа не выучил 25 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 15 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{15}{40}\) = 0,375.
Ответ: 0,375.
Ответ: 0,375
11Графики функций1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -3x + 2\)
2) \(y = \dfrac{1}{2}x - 4\)
3) \(y = \dfrac{1}{2}x + 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Решение
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 123.
Ответ: 123
12Расчёты по формулам1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9 с-1, а центростремительное ускорение равно 162 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 162/(9²) = 2.
Ответ: 2.
Ответ: 2
13Неравенства, системы неравенств1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 9)(x - 2) ≤ 0
1
2
3
4
Решение
Нули выражения: x = -9 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 2) <= 0 получаем решение [-9;2]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14Задачи на прогрессии1 балл
В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?
Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 29%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 32 кг сухих фруктов:
32 · 71/100 = 22,72 кг.
Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.
Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 22,72.
x = 22,72 / 0,16 = 142 кг.
Ответ: 142.
Правильный ответ: 142
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22Функции и их свойства. Графики функций2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{9x+1}{9x^2+1x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-1/9 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-1/9 \), откуда \( k=81 \).
Ответ: 81.
Правильный ответ: 81
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23Геометрические задачи на вычисление2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 24, CD = 70, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 35.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 35, полухорда = AB/2 = 12.
R² = 35² + 12² = 1225 + 144 = 1369. R = 37.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 35.
d² = R² − 35² = 1369 − 1225 = 144. d = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24Геометрические задачи на доказательство2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25Геометрические задачи повышенной сложности2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
