Загрузка заданий...

Вариант 2485 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 18.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	баня	гараж	теплица
Цифры

Решение

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.

Получаем последовательность: 7425.

Ответ: 7425

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

Ответ: 7

3 Задание 3 1 балл

Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.

Решение

По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.

Ответ: 36.

Ответ: 36

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.

Решение

Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.

Ответ: 29.

Ответ: 29

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	20 000 руб.	15 370 руб.	1,6 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	14 000 руб.	4,9 кВт	4,2 руб./(кВт·ч)

Решение

Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.

Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.

Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.

Ответ: 500.

Ответ: 500

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{8} + \frac{3}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{8} + \frac{3}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{8}) + \frac{3}{1} = \frac{33}{8}$.

Получили дробь $\frac{33}{8}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $4,125$.

Ответ: $4,125$.

Ответ: 4,125

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > -8

$\frac{1}{a} < 0$

-a < -8

a - 7 < 0

Решение

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) -a > -8 ⇔ a < 8 — верно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) -a < -8 ⇔ a > 8 — неверно.

4) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{80} + \sqrt{20})\sqrt{5}$$

Решение

Вычислим выражение: (√80 + √20)·√5.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √80 = 4√5, √20 = 2√5.

Тогда получаем (4√5 + 2√5)·√5 = 6√5·√5.

Так как √5·√5 = 5, имеем 6·5 = 30.

Ответ: 30.

Ответ: 30

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 11x + 18 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Решим уравнение: x² + 11x + 18 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 11, c = 18.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 11² - 4·1·18 = 49.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-11 - √49) / 2 = -9

x₂ = (-11 + √49) / 2 = -2

Ответ: -9;-2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 4 чёрных, 30 жёлтых и 6 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 30 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{30}{40}$ = 0,75.

Ответ: 0,75.

Ответ: 0,75

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

Б) $y = -2x^2 - 10x - 13$

В) $y = -\dfrac{9}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Подставим V = 0,05 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,05 = 490.

Ответ: 490.

Ответ: 490

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 1)(x - 3) > 0

Решение

Нули выражения: x = -1 и x = 3. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 3 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 3) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (3;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 2,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 2,4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

Ответ: 5

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.

Решение

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{11}{20}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

Ответ: 0,55

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 11, BC = 12, CD = 18. Найдите AD.

Решение

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 11 + 18 - 12 = 17.

Ответ: 17.

Ответ: 17

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 26° и 84°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 26° - 84° = 70°.

Ответ: 70.

Ответ: 70

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 4, высота равна 7.

S = 4 · 7 / 2 = 14.

Ответ: 14.

Ответ: 14

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

Ответ: 23

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-16<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+2)^2-5<0$.

Шаг 2. $(x+2)^2<5$.

Шаг 3. $-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Вычитаем 2: $-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 3 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 260 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 3) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 260/x мин, второй — 260/(x+3) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:

260/x − 260/(x+3) = 6.

Шаг 4. Умножаем на x(x+3):

260·(x+3) − 260·x = 6·x·(x+3).

780 = 6·x² + 18·x.

6x² + 18x − 780 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 18² + 4·6·780 = 324 + 18720 = 19044, √D = 138.

x = (−18 + 138) / (2·6) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 260/10 = 26 мин, вторая — 260/13 = 20 мин.

26 − 20 = 6 = 6. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=3-\dfrac{x+5}{x^2+5x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=3-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-5 $.

У функции $ y=3-\frac1x $ нет значений $ y=3 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=3,2 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=3; 3,2 $.

Ответ: 3; 3,2.

Правильный ответ: 3; 3,2

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:

(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.

CD/2 = 24.

Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.

Ответ: 48.

Правильный ответ: 48

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).

Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).

Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.

Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 40 ⟹ a+b = 20.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·$\frac{80}{20}$ = 8.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=20 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=8:

a = 4, b = 16.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 8·$\frac{4}{20}$ = 1,6.

Ответ: 1,6.

Правильный ответ: 1,6

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.